次の各問に答えよ．

(1)$x,\ y$を整数とする．$x+y+xy$が偶数ならば$x,\ y$はともに偶数であることを示せ．
(2)$a,\ b$を正の実数とする．実数$x$に対し次の命題が成り立つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
\[ |x-a|<b \Longrightarrow |x-b|<a \]
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき，$\sin 2x>\cos x$となる$x$の範囲を求めよ．

数列$\{a_n\}$の一般項を$\displaystyle a_n=\cos \frac{n \pi}{3}$とする．この数列の項を$(a_1)$，$(a_2,\ a_3)$，$(a_4,\ a_5,\ a_6)$，$\cdots$のように第$k$グループに$k$個の項が入るようにグループ分けする．第$25$グループに含まれる項の和を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$\theta$に対し，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標をもつ空間において，$3$点
\[ \mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}(0,\ \cos \theta,\ \sin \theta),\quad \mathrm{R}(0,\ \cos 2\theta,\ \sin 2\theta) \]
を考える．

(i) $\theta$が$-\pi \leqq \theta<\pi$の範囲を動くとき，$\mathrm{PQ}^2$の最大値は$[ア]$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{[イ]}{[ウ]} \pi$と$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$のなす角を$\alpha$とする．$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]} \pi$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$[シ]$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．

(2)零行列でない$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，等式$A^2=4A$を満たしているとする．

(i) $bc=0$のとき，$a+d$の値は$[ソ]$または$[タ]$である．また，$bc \neq 0$のとき，$a+d=[チ]$，$ad-bc=[ツ]$となる．特に，$b=c>0$とすると，
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & \sqrt{([テ]-[ト]a)a} \\
\sqrt{([ナ]-[ニ]a)a} & [ヌ]-[ネ]a
\end{array} \right) \]
となる．
(ii) 自然数$n$に対し，
\[ \sum_{k=1}^n \comb{n}{k} 4^k 3^{n-k}=[ノ]^n-[ハ]^n \]
であるから，
\[ (A+3E)^n=\frac{[ヒ]}{[フ]} ([ヘ]^n-[ホ]^n)A+[マ]^n E \]
となる．ここで，$E$は$2$次の単位行列を表す．

$\mathrm{AB}=k$，$\displaystyle \mathrm{CA}=\frac{5}{3}k$，$\displaystyle \cos A=\frac{1}{3}$である三角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$k$は定数で，$k>0$とする．

(1)辺$\mathrm{BC}$の長さを$k$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{BH}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{AH}$上に$\angle \mathrm{BDC}=90^\circ$となる点$\mathrm{D}$をとるとき，線分$\mathrm{BD}$の長さを$k$を用いて表せ．また，$\cos \angle \mathrm{BDA}$の値を求めよ．

鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，$\mathrm{AC}=2 \sqrt{3}$で面積が$3+\sqrt{3}$のとき，以下の値を求めよ．

(1)$\sin A$
(2)$\cos A$
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径

次の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq x<2\pi$のとき，次の不等式を解け．
\[ 4 \sin^2 x+(2-2 \sqrt{2}) \cos x+\sqrt{2}-4 \geqq 0 \]
(2)$\{a_n\} (n \geqq 1)$は初項$3$，公差$4$の等差数列，$\{b_m\} (m \geqq 1)$は初項$1000$，公差$-5$の等差数列とする．

(i) $2$つの等差数列の共通項の個数を求めよ．
(ii) $2$つの等差数列の共通項の総和を求めよ．

(3)$3$人がじゃんけんをして，$1$人だけ勝者を決める．$3$人はそれぞれグー，チョキ，パーを同じ確率で出すとする．勝者がいない場合は再びじゃんけんをする．勝者が$2$人の場合はその$2$人でじゃんけんをする．$2$人でじゃんけんをしたとき，勝者がいない場合は再びその$2$人でじゃんけんをする．

(i) $1$回目のじゃんけんで勝者がいない確率を求めよ．
(ii) $2$回じゃんけんをしても，勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．
(iii) $n$は正の整数とする．$n$回じゃんけんを続けても勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_{10}3=a$，$\log_{10}5=b$のとき，$\log_{\frac{3}{2}}48$を$a,\ b$で表すと$\displaystyle \frac{a-[　]b+[　]}{a+[　]b-[　]}$である．
(2)関数$\displaystyle y=12 \sin \theta+5 \cos \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について，$y$の取り得る値の範囲は$[　] \leqq y \leqq [　]$である．
(3)ある$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$4$，$y$軸方向に$-6$平行移動すると，$y=-x^2+6x+6$と一致する．もとの$2$次関数は$y=-x^2-[　]x+[　]$である．
(4)赤玉が$5$個，青玉が$4$個入っている袋から$3$個を取り出すとき，少なくとも$1$個が青玉である確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，それぞれの辺の長さを$a=3$，$b=\sqrt{7}$，$c=2$とするとき，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AH}$の長さは$\sqrt{[　]}$である．
(6)$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$が定める平面に原点$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．

四角形$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの内角がいずれも${180}^\circ$より小さく，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{CD}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AD}=1$を満たすとする．

(1)$\angle \mathrm{BAD}={60}^\circ$のとき，$\cos \angle \mathrm{BCD}$の値を求めよ．
(2)${90}^\circ \leqq \angle \mathrm{BAD}$であり，$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円の半径が$\displaystyle \frac{3 \sqrt{6}}{4}$のとき，$\triangle \mathrm{BCD}$の外接円の半径を求めよ．

$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

(1)$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた範囲の$\theta$について，$4 \cos^3 \theta+3 \sqrt{3} \cos^2 \theta$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(3)$k$は実数の定数とする．$4 \cos^3 \theta+3 \sqrt{3} \cos^2 \theta=k$かつ$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$が，ちょうど$3$個存在するような，$k$の値の範囲を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{A}$を通る$2$つの曲線$C_1,\ C_2$の点$\mathrm{A}$における接線に対して，これらの接線のなす角$\displaystyle \theta \left( \text{ただし} 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を点$\mathrm{A}$における$2$曲線$C_1$と$C_2$のなす角と呼ぶことにする．

(1)$2$次方程式$x^2-1=ax+b$が重解をもつとき，$a$と$b$の間に$b=[$1$]$の関係式が成り立つ．
(2)放物線$y=x^2-1$の点$(1,\ 0)$における接線の方程式は$y=[$2$]$である．
(3)点$(1,\ 0)$における$2$曲線$y=x^2-1$と$y=x^3+3x^2-3x-1$のなす角$\theta$に対して，$\tan \theta$の値は$[$3$]$である．