次の各問いに答えよ．

(1)$(xy+1)(x+1)(y+1)+xy$を因数分解せよ．
(2)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{3}{5} (0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$のとき，$\sin \theta \cos \theta$の値を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{5}+1}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$の分母を有理化して簡単にせよ．

(4)$8$個の異なる荷物を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人に分けるとき，$\mathrm{A}$に$3$個，$\mathrm{B}$に$2$個，$\mathrm{C}$に$3$個のように分ける方法は何通りあるか．
(5)方程式$x^2+(2a+1)x+a+1=0$が実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(6)$2$次関数$y=x^2-2mx+3m$の最小値を$k$とするとき，$k$の最大値とそのときの$m$の値を求めよ．

変数$\theta$の関数$f(\theta)=5 \sin^2 \theta+m \cos \theta-3$について，以下の問に答えよ．ただし，$m$は定数とする．

(1)$\cos \theta=t$とおいて，関数$f(\theta)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とおくとき，$g(t)$を求めよ．
(2)関数$g(t)$において定数$m$を$1$とする．

(i) 変数$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の範囲にあるとき，関数$g(t)$の最大値と最小値を求めよ．
(ii) 変数$\theta$が$90^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の範囲にあるとき，方程式$g(t)=0$を解け．

(3)変数$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の範囲にあるとき，関数$g(t)$の最大値を$m$を用いて表せ．
(4)変数$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の範囲にあるとき，方程式$f(\theta)=0$が異なる$2$個の解を持つための$m$の値の範囲を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \sin A=\frac{\sqrt{7}}{4}$かつ$\angle \mathrm{A}$が鋭角のとき，$\cos A$の値を求めよ．
(2)$\tan A=-5$のとき，$\cos A$の値を求めよ．
(3)$\tan A=a$のとき，$\sin A$の値を$a$を用いて表せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=\sqrt{30}$，$\mathrm{CA}=4$であるとき，次の設問に答えよ．

(1)$\cos A$の値を求めよ．
(2)$\sin A$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{AC}=2$である$\triangle \mathrm{ABC}$について，次の問に答えよ．

(1)次の問に答えよ．

(i) $\theta=\angle \mathrm{ACB}$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=-\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{P}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$および$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{b} \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)加法定理$\cos (x \pm y)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y$（複号同順）を用いて，
\[ \sin x \sin y=\frac{1}{2} (\cos (x-y)-\cos (x+y)) \]
を証明しなさい．
(2)$x+y=\pi$，$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{2}{3} \pi$のとき，$\sin x \sin y$の最大値，最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．

次の$[　]$をうめよ．

(1)どのような実数$x$に対しても，不等式$x^2+ax+a>-2x^2+x+1$が成り立つ定数$a$の値の範囲は$[　]$である．
また，$2$つの放物線$y=x^2+ax+a$と$y=-2x^2+x+1$が点$\mathrm{A}$を共有し，その点で共通な接線をもつとき，点$\mathrm{A}$の座標は$[　]$である．
(2)$a=3^{96}$のとき，$\sqrt[3]{a}$は$[　]$桁の整数である．また，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}$は，小数第$[　]$位に初めて$0$でない数が現れる．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin x+\cos x+\sin 2x=-\frac{1}{2}$の解は，$x=[　]$である．また，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \sin y+\sqrt{3} \cos y+4 \cos^2 \left( y+\frac{\pi}{3} \right)=4$の解は，$y=[　]$である．

$2$つの直線$\displaystyle y=-\frac{1}{3}x+1$と$y=0$とのなす角を$\theta_1$とすると，$\cos \theta_1=[　]$である．また，$2$つの直線$\displaystyle y=-\frac{1}{3}x+1$と$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1$とのなす角を$\theta_2$とすると，$\cos \theta_2=[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とする．二項係数$\comb{2n}{n}$について，不等式$\comb{2n}{n} \leqq 2^{2n-1}$が成り立つことを示せ．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$1+\cos \theta+\cos 2\theta>\sin \theta+\sin 2\theta$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)数列
\[ 1,\ 101,\ 10101,\ 1010101,\ \cdots \]
の第$n$項を$a_n$とする．$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．また，$n$が$3$の倍数のとき，$a_n$は$7$の倍数であることを示せ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$2 \cos \theta+\sin \theta$の最大値および最小値を求めよ．