定数$a,\ b$は$a>b>0$とし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．$2$曲線
\[ C_1:y=a \sin x,\quad C_2:y=b \cos x \]
の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \alpha,\ \sin \beta$と$\cos \alpha,\ \cos \beta$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$S=2 \sqrt{5}$，$a+b=3$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，不等式$\displaystyle \sin \theta \geqq \frac{1}{2}$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(2)$\theta$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$f(\theta)=\sin \theta+\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．またそのときの$\theta$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x=\sqrt{7}-\sqrt{3}$，$y=\sqrt{7}+\sqrt{3}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$であり，$\displaystyle \frac{1}{x^3}-\frac{1}{y^3}=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]}$である．
(2)$(9x-5)(2x+3)+10x-41=([カ]x-[キ])([ク]x+[ケ])$である．
(3)連立不等式$\displaystyle \frac{5x-7}{3}-1 \leqq x+2<\frac{4x-3}{2}$の解は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}<x \leqq [シ]$である．
(4)等式$2 |x-1|+x-7=0$を満たす実数$x$の値は$[スセ]$と$[ソ]$である．
(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，男女が交互に並ぶ並び方は$[タチツ]$通りである．
(6)$1$から$9$までの整数を$1$つずつ書いたカードが$9$枚ある．この中から同時に$2$枚を取り出したとき，それらの整数の積が偶数である確率は$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナニ]}$である．
(7)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$とする．$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{5}$のとき，
\[ \sin (180^\circ-\theta)+\cos (180^\circ-\theta)+\tan (90^\circ-\theta)=\frac{[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]} \]
である．
(8)$a,\ b$を正の整数の定数とする．$2$次関数$y=2x^2+(a-2)x+3-b$のグラフが$x$軸と接するとき，$a=[オ]$，$b=[カ]$，あるいは$a=[キ]$，$b=[ク]$である．ただし，$[オ]<[キ]$である．

四面体$\mathrm{ABCD}$において，底面の$\triangle \mathrm{BCD}$は$1$辺の長さが$2$の正三角形であり，$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{DAB}=90^\circ$である．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)$\mathrm{DA}=\sqrt{[ア]}$である．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DM}}$について，$\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}=[イ]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DM}}=[ウ]$である．
(3)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ADM}=\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{BCD}$を底面とする四面体$\mathrm{ABCD}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$である．
(5)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}$である．

$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right) (b \neq 0)$が表す$1$次変換を$f$とする．点$\mathrm{P}(c,\ 0) (c>0)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)次の$[$①$]$から$[$④$]$を数値でうめよ．
点$\mathrm{Q}(3,\ 4)$を，点$\mathrm{R}(1,\ 2)$を中心として反時計まわりに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転した点の座標は
\[ \left( \begin{array}{rr}
\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} & \displaystyle -\sin \frac{\pi}{3} \\ \\
\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} & \displaystyle \cos \frac{\pi}{3}
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
3-[$①$] \\ \\
4-[$②$]
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
[$①$] \\ \\
[$②$]
\end{array} \right) \]
を計算することにより，$([$③$],\ [$④$])$である．

(2)$B=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} & \displaystyle -\sin \frac{\pi}{3} \\
\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} & \displaystyle \cos \frac{\pi}{3}
\end{array} \right)$，$V=\left( \begin{array}{c}
c \\
0
\end{array} \right)-A \left( \begin{array}{c}
c \\
0
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right)$とおく．

点$\mathrm{P}$を，点$f(\mathrm{P})$を中心として反時計まわりに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転した点が$(f \circ f)(\mathrm{P})$と一致するという条件を$A,\ B,\ V,\ O$を用いて表すと，$([$⑤$])V=O$と表すことができる．$A$と$B$を用いて$[$⑤$]$をうめよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$f(\mathrm{P})$，$(f \circ f)(\mathrm{P})$が正三角形の$3$つの頂点をなすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$(3)$の正三角形の$1$辺の長さが$1$になるとき，$c$の値を求めよ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+3x}+x)$の値は$[$①$]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \comb{n}{k}$を計算すると$[$②$]$となる．
(3)座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$t$を実数とする．どのような$t$の値に対しても，点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \cos t,\ \frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}},\ \frac{1+\sin t}{\sqrt{2}} \right)$は原点を中心とする半径$[$③$]$の球面上にある．また，実数$s$に対して，点$\mathrm{Q}(0,\ s,\ -s)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}=0$となるような$s$の値は$s=0$と$s=[$④$]$である．
(4)媒介変数表示
\[ x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1,\quad y=3^t-3^{-t} \]
で表される図形は，$x,\ y$についての方程式$[$⑤$]=1$で定まる双曲線$C$の$x>0$の部分である．また，$C$の漸近線で傾きが正の漸近線の方程式は$y=[$⑥$]$である．
(5)$\theta$の関数$\displaystyle \sin \theta \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \theta-\frac{\pi}{3} \right)$は，定数$a,\ b$を用いて$a \sin^3 \theta+b \sin \theta$と表すことができる．$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$[$④chi$]$である．
(6)無限級数の和として定義される関数
\[ f(x)=x^2+\frac{x^2}{1+2x^2}+\frac{x^2}{(1+2x^2)^2}+\cdots +\frac{x^2}{(1+2x^2)^n}+\cdots \]
について，$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$の値は$[$\maruhachi$]$である．

次の問に答えよ．

(1)$0 \leqq \theta<\pi$のとき，次の連立不等式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\cos 2\theta>\sin \theta \\
\displaystyle \sin 2\theta<\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array} \right. \]
(2)$a,\ b$を定数とし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とするとき，次の問に答えよ．

(i) 方程式$\sin^2 x+\sin x+a=0$が解をもつような$a$の範囲を求めよ．
(ii) 方程式$\sin^2 x-\sin x+b=0$が解をもつような$b$の範囲を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)次の等式が成り立つことを証明せよ．

(i) $\cos (\alpha+\beta+\gamma)+\cos (\alpha+\beta-\gamma)=2 \cos (\alpha+\beta) \cos \gamma$
(ii) $\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma=\frac{1}{4} \biggl\{ \cos (\alpha+\beta-\gamma)+\cos (\beta+\gamma-\alpha)$
\qquad\qquad\qquad\qquad\quad $+\cos (\gamma+\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta+\gamma) \biggr\}$

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次の等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \sin A+\sin B+\sin C=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} \]
（注意）なお，次の公式を用いてもよい．
\[ \cos \theta_1+\cos \theta_2=2 \cos \frac{\theta_1+\theta_2}{2} \cos \frac{\theta_1-\theta_2}{2} \]

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \frac{1}{3}x-7 \leqq 2 \\ \\
\displaystyle \frac{3}{2}x+3>-\frac{3}{4}x+1
\end{array} \right. \]
の解は$[$1$]$である．
(2)$2$点$(5,\ 1)$，$(-2,\ 4)$を通る直線の方程式は$[$2$]$である．
(3)直線$y=ax-3$が放物線$y=x^2-4x+3a$の接線であるとき，定数$a$の値は$[$3$]$である．
(4)$\displaystyle \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{4}-\sqrt{6} \cos \frac{\pi}{3}$の値は$[$4$]$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{9} \sin \frac{\pi}{18}-\cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{\pi}{18}$の値は$[$5$]$である．
(5)赤玉が$4$つ，青玉が$3$つ，黄玉が$2$つある．これらすべての玉を$1$列に並べる並べ方は$[$6$]$通りである．これらの玉をすべて$1$つの袋に入れ，そのうち$3$つを同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率は$[$7$]$であり，赤玉$2$つ，青玉$1$つを取り出す確率は$[$8$]$である．また，すべての玉が入った袋から玉を$4$つ同時に取り出すとき，青玉が少なくとも$1$つ含まれる確率は$[$9$]$である．
(6)$2$次関数$f(x)$は，$\displaystyle x=-\frac{3}{4}$で極値をとり，$f(-1)=-2$，$f^\prime(2)=11$を満たす．このとき，$f(x)=[$10$]$であり，$\displaystyle \int_{-1}^2 f(x) \, dx$の値は$[$11$]$である．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$があり，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=7$，$\mathrm{DA}=9$，$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．次の各問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．