$\displaystyle \sin \alpha=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \sin \beta =\frac{4}{5} \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi \right)$のとき，$\cos (\alpha+\beta)=\gamma$となる．$25(\gamma+1)$の値を求めよ．

$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{5}}$のとき，$\displaystyle -\frac{8}{13} \left( \tan^3 \theta+\frac{1}{\tan^3 \theta} \right)$の値を求めよ．

関数$y=2 \cos \theta-\sin^2 \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$の最大値を$M$，最小値を$m$とする．$(M+m)$の値を求めよ．

$\mathrm{AB}=x^2$，$\mathrm{BC}=x+2$，$\mathrm{CA}=2x^2-6x+9$の三角形$\mathrm{ABC}$が二等辺三角形になるとき，次の問いに答えよ．ただし，$x>0$とする．

(1)$x$のとりうる値をすべて求めよ．
(2)それぞれの$x$の値について，$\cos A,\ \cos B,\ \cos C$を求めよ．
(3)それぞれの$x$の値について，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$ax^2+bx+2=0$の$2$つの解が$3$と$6$であるような定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$x$の$2$次関数$y=-x^2+2ax-4a+1$の最大値が$0$以下となるような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$，$C$で表す．$B=30^\circ$，$\displaystyle \sin^2 A+\sin^2 B=\frac{1}{2}$であり，この三角形の外接円の半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$A$と$C$を求めよ．またこのとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

$\alpha$は第$1$象限の角，$\beta$は第$2$象限の角であり，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle 5 \sin \alpha-\tan \beta=3 \\
\displaystyle 3 \sin \alpha+2 \tan \beta=-\frac{17}{5}
\end{array} \right. \]
を満たしている．

(1)$\sin \alpha$と$\tan \beta$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$\cos \alpha,\ \tan \alpha,\ \sin \beta,\ \cos \beta$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$\sin (\alpha+\beta)$と$\tan (\alpha+\beta)$の値をそれぞれ求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{c}$とする．これらの内積が$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-7$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=-4$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=-6$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さをそれぞれ求めよ．
(3)$\cos A$，$\sin A$の値と三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx+c$は$3$点$(-2,\ -3)$，$(0,\ -1)$，$(1,\ 6)$を通る．このとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求め，さらにこの放物線の頂点の座標を求めよ．
(2)放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{A}(t,\ t^2)$を通り，傾きが$m$であるような直線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\ell$が$C$と異なる$2$点で交わる条件を求め，このとき，点$\mathrm{A}$とは異なる交点$\mathrm{B}$の座標を$t$と$m$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=2$，$\displaystyle \cos B=\frac{5}{6}$であるとき，辺$\mathrm{CA}$の長さ，および$\cos A$，$\cos C$の値をそれぞれ求めよ．

$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=x+2$である三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{AD}=y$とする．三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の内接円の半径をそれぞれ$r_1,\ r_2$とするとき，$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=\frac{3}{2}$を満たしている．ただし，$x$と$y$は定数とし，$x>0$，$y>0$とする．

(1)$x,\ y,\ \cos \angle \mathrm{ADB},\ \cos \angle \mathrm{ADC}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の半径をそれぞれ$R_1,\ R_2$とするとき，$R_1$と$R_2$の値をそれぞれ求めよ．

角$\mathrm{C}$を直角とする直角三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{D}$，$\mathrm{H}$を次のようにとる．$\angle \mathrm{CHB}=90^\circ$とし，$\mathrm{D}$を$\mathrm{H}$に関し，$\mathrm{B}$と反対側に$\mathrm{DH}=2$とする．また，$\mathrm{AD}=2 \mathrm{CD}$とし，$\angle \mathrm{CDH}=60^\circ$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積を求めよ．
(3)$\sin A$の値を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ADC}$の外接円の半径$R$を求めよ．