次の各問いに答えなさい．

(1)関数
\[ f(x) = 2\sqrt{3}\,\sin^2\frac{x}{2}-\sin x+a \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最小値が$\sqrt{3}$であるとする．このとき，$a=[ア]$であり，$f(x)$が最小となるのは$x=\displaystyle\frac{\pi}{[イ]}$のときである．
(2) $n$を$5$以上の自然数とする．$1$以上$n$以下の自然数から互いに隣り合わない$2$つを選ぶ組合せは
\[ \frac{1}{[ウ]} \left( n- [エ]\right) \left( n- [オ] \right) \]
通りあり，どの$2$つも隣り合わない$3$つを選ぶ組合せは
\[ \frac{1}{[カ]} \left( n- [キ]\right) \left( n- [ク] \right) \left( n- [ケ] \right) \]
通りある．ただし，$[エ] < [オ], \quad [キ] < [ク] < [ケ]$とする．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)$，$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=t:(1-t)$とするとき
\[ \displaystyle s=\frac{[コ]}{[サ]}, \quad t=\frac{[シ]}{[ス]} \]
である．また，$\mathrm{OP}$の延長と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OP}} \]
である．

次の各問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$において
\[ y= \sin x + 2 \cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \]
の最大値は$\sqrt{[ア]}$であり，最小値は$-\sqrt{[イ]}$である．
(2)$xy = 4x -y+28$を満たす正の整数$x,\ y$の組$(x,\ y)$は全部で[ウ]組ある．
(3)放物線$y=\displaystyle\frac{1}{2}x^2$は，$x$軸方向に[エ]，$y$軸方向に$\displaystyle\frac{[オ]}{[カ]}$だけ平行移動すると，直線$y=-x$と直線$y=3x$の両方に接する．
(4)実数$x,\ y$が$x^2+xy+2y^2=1$を満たすとき，$y^2$がとり得る値の範囲は
\[ [キ] \leqq y^2 \leqq \frac{[ク]}{[ケ]} \]
である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において， $\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}$，内心を$\mathrm{Q}$とおく．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle\frac{[コ]}{[サ]}\sqrt{[シ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ]}\sqrt{[ソ]}$である．
(3)$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$ とおくとき，$\cos \alpha = \displaystyle\frac{[タ]}{[チ]}\sqrt{[ツ]}$である．
(4)$\angle \mathrm{QAB}=\beta$ とおくとき，$\cos \beta = \displaystyle\frac{[テ]}{[ト]}$である．
(5)$\mathrm{AQ}=$[ナ]である．
(6)$\mathrm{PQ}= \displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}\sqrt{[ネ]}$である．

次の文章中の$[ア]$から$[ラ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めて記入せよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の関係式を満たすとする．
\[ a_1=0, \quad \left\{ \begin{array}{l}
b_n=\displaystyle\frac{1}{5}a_n+1 \\
a_{n+1}=3b_n+2
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_1 = [ア]$で，$n \geq 1$に対して$b_{n+1} = \displaystyle\frac{[イ]}{[ウ]} b_n + \frac{[エ]}{[オ]}$となる．これより，
\[ b_n = \displaystyle\frac{[カ]}{[キ]} - \frac{[ク]}{[ケ]} \left(\frac{[コ]}{[サ]} \right)^{n-1} \quad (n \geq 1) \]
となるので，
\[ \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{[シ]}{[ス]}, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{b_{2n}-b_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{[セ]}{[ソ]} \]
となる。また，
\[ \sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n}-a_n) = \frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト]} \]
である．
(2)複素数$z = \cos\theta + i\sin\theta (0 \leq \theta<2\pi)$に対して，複素数$\omega$を
\[ \omega = (4+3i)z + 6i\,\overline{z} \]
で定める．ただし，$i$は虚数単位を，$\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta$は$z$と共役な複素数を表す．
いま$z$の実部と虚部がともに$0$以上となる範囲で$\theta$を動かす．このとき，$\omega$の実部の最大値は[ナ]，最小値は[ニ]であり，$\omega \overline{\omega}$の最大値は[ヌ][ネ][ノ]，最小値は[ハ][ヒ]である．ただし，$\overline{\omega}$は$\omega$と共役な複素数を表す．

(3)$x>0$で定義された微分可能な関数$f(x)$が，
\[ f^\prime(x) = 2\log x + \frac{1}{7-2e} \int_1^{e} \frac{f(t)}{t}\, dt, \quad f(1)=0 \]
を満たすとする．ここで，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底である．$f(x)$を求めると，
\[ f(x) = [フ] x\log x - \frac{[ヘ]}{[ホ]} x + \frac{[マ]}{[ミ]} \quad (x>0) \]
となる．関数$f(x)$は$\displaystyle x=e^{-\frac{[ム]}{[メ]}}$のとき，最小値
\[ -[モ]e^{-\frac{[ヤ]}{[ユ]}} + \frac{[ヨ]}{[ラ]}\]
をとる。

円に内接する$4$角形$\mathrm{ABCD}$について，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{BC}=b$，$\mathrm{CD}=c$，$\mathrm{AD}=d$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)$a^2+b^2=c^2+d^2$であるための必要十分条件が，$\angle \mathrm{B} = \angle \mathrm{D}$である事を証明せよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{\sqrt{2}}{3},\ b=\frac{\sqrt{7}}{3},\ c=\frac{\sqrt{5}}{3},\ d=\frac{2}{3}$とするとき，$\cos (\angle \mathrm{A} - \angle \mathrm{C})$を求めよ．

$\angle \mathrm{A}=90^{\circ}$である直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{D}$は辺$\mathrm{BC}$上の点で，$\triangle \mathrm{ABD}$の$3$辺の長さの和が$10\sqrt{3}$，かつ$\sin \angle \mathrm{BAD} : \sin \angle \mathrm{ABD} : \sin \angle \mathrm{ADB}=4:5:6$を満たすとする．

(1)$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を求めよ．

$2$つの関数
\[ x=g(\theta)=\frac{9}{4}\sin 2\theta, \quad y=h(x)=\log x \]
に対して，関数$g(\theta)$と関数$h(x)$の合成関数
\[ f(\theta) = h(g(\theta)) \]
を考える．ただし，対数は自然対数とする．

(1)$\displaystyle f\left( \frac{\pi}{3} \right) = -[ア]\log 2 + \frac{[イ]}{[ウ]}\log 3$である．

(2)実数$\theta_1$が$\displaystyle \sin \theta_1+\cos \theta_1 = \frac{\sqrt{82}}{8}$を満たすとき，
\[ f(\theta_1) = - [エ] \log 2 + [オ]\log 3 \]
である．
(3)$f(\theta)$の$\displaystyle\theta=\frac{\pi}{8},\ \theta=\frac{\pi}{12}$における微分係数はそれぞれ
\[ f^{\; \prime} \left( \frac{\pi}{8} \right) = [カ], \quad f^{\; \prime} \left(\frac{\pi}{12}\right) = [キ]\sqrt{[ク]} \]
となる．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$が
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 2\sqrt{3}, \quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{15}, \quad \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}} = 8 \]
を満たしているとする．ここで，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを表し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を表すものとする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とおくと
\[ \cos \theta = \frac{[ア]}{[イウ]} \sqrt{[エ]} \]
となる．\\
\quad また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\sqrt{[オカ]}$である．
(2)線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直となるようにとる．このとき，点$\mathrm{C}$は線分$\mathrm{AB}$を$[キ]:[ク]$に内分する点である．

次の各問の$[　]$にあてはまる数または式を入れよ．

(1)$\sin \theta + \cos \theta = \displaystyle\frac{1}{2}$のとき，$\sin \theta \cos \theta = - \displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．　　　　　
(2)不等式$|5x-41|<2x+1$を満たす整数$x$の最大値は[ア][イ]であり，最小値は[ウ]である．
(3)$(x-3y+z)^6$の展開式における，$x^2y^2z^2$の項の係数は[ア][イ][ウ]である．
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$において，$2$辺$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とする．このとき，

(i) $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=[ア]$となる．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} = [イ]\overrightarrow{\mathrm{MN}}$である．

以下の$[　]$にあてはまる値を答えよ．

(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が媒介変数$\theta$を用いて
\[ \begin{array}{l}
x=-\sin \theta+2\cos \theta \\
y= 2\sin \theta+3\cos \theta
\end{array} \]
と表されているとする．このとき，原点を$\mathrm{O}$とすると
\[ \mathrm{OP}^2 = [ア]\sqrt{2} \sin \left( [イ]\theta + \frac{\pi}{[ウ]} \right) + [エ] \]
が成り立つ．
(2)$4$つのサイコロを投げて，出た目の積を$m$とする．

(3)$m=10$となる確率は$\displaystyle\frac{[オ]}{[カ][キ][ク]}$である．また，$m=60$となる確率は$\displaystyle\frac{[ケ]}{[コ][サ][シ]}$である．
(4)$m$が$10$と互いに素になる確率は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ][ソ]}$である．また，$m$が$10$の倍数となる確率は$\displaystyle\frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト][ナ]}$である．\\
ただし，自然数$a$と$b$が互いに素であるとは，$a$と$b$が$1$以外の公約数を持たないことをいう．

(5)$xy$座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$\mathrm{O}$に正三角形$\mathrm{ABC}$が内接していて，三点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はその順に反時計回りに位置している．点$\mathrm{A}$の$x$座標と$y$座標はともに正とする．直線$\mathrm{AC}$と$y$軸は点$\mathrm{D}$で交わっていて，点$\mathrm{D}$を通り直線$\mathrm{BC}$に平行な直線は，円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{E}$で接するという．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[ニ]$であって，$\tan (\angle \mathrm{ODE}) = [ヌ]$となる．ゆえに，点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ネ]$である．