関数$f(x)=2 \sin x-x \cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq a \leqq \pi$および$f^\prime(a)=0$を満たす$a$がただ1つ存在することを示せ．
(2)(1)の$a$を用いて，関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)(1)の$a$について，$0<t<a$とするとき，
\[ S(t)=\int_0^a |f(x)-f(t)| \, dx \]
が最小となるような$t$の値を$a$を用いて表せ．

関数$f(x)$は微分可能で，導関数$f^\prime(x)$は連続であるとする．$p(x)=xe^{2x}$とおくとき，$f(x)$は
\[ \int_0^x f(t) \cos (x-t) \, dt=p(x) \]
を満たしている．このとき次の問いに答えよ．

(1)$f(0)=p^\prime(0)$を示せ．
(2)$f^\prime(x)=p(x)+p^{\prime\prime}(x)$を示せ．
(3)$f(x)$を求めよ．

関数$f(x)=1+\sin x+\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$\displaystyle x=\frac{5}{12}\pi$のとき，和$\sin x+\cos x$と積$\sin x \cos x$の値をそれぞれ求めよ．
(3)次の不等式$(ⅰ),\ (ⅱ)$がそれぞれ成り立つことを証明せよ．また，等号がいつ成立するか．それぞれ調べよ．

(i) $f(x) \geqq \sin x (1+\sqrt{2}+\cos x) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$
(ii) $(\sin x+\cos x) \left( \displaystyle\frac{7}{4}-\sin x \cos x \right) \leqq \left( \displaystyle\frac{3}{2} \right)^{\frac{3}{2}} \ \left( 0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$

次の問いに答えよ．

(1)$f(t)$を$0 \leqq t \leqq 1$で連続な関数とする．$\tan x=t$とおいて，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{f(\tan x)}{\cos^2 x} \, dx=\int_0^1 f(t) \, dt \]
であることを示せ．
(2)(1)を用いて，$0$以上の整数$n$に対し，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^n x}{\cos^2 x} \, dx$の値を求めよ．また，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \leqq \frac{1}{n+1} \]
を示せ．
(3)$0$以上の整数$n$と$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$を満たす$x$に対し，
\[ \frac{1-\tan^2 x+\tan^4 x- \cdots +(-1)^n \tan^{2n} x}{\cos^2 x}=1-(-1)^{n+1} \tan^{2(n+1)} x \]
であることを示せ．
(4)(2)と(3)を用いて，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{1}{2k+1}$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$について，$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=5$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=3$である．このとき，$\overrightarrow{p}=3 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$の大きさ$|\overrightarrow{p}|$を求めよ．
(2)条件$\left\{ \begin{array}{l}
1 \leqq x-2y \leqq 3 \\
0 \leqq x+y \leqq 1
\end{array} \right.$の表す領域$D$を図示せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$3 \sin \theta-1<\cos 2\theta$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(4)平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1)$がある．点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^3$の$0<x<1$の部分を動くとき，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}$の分母を有理化せよ．
(2)方程式$4x^2-3x+k=0$の$2$つの解が$\sin \theta,\ \cos \theta$で与えられるとき，定数$k$の値を求めよ．
(3)関数$y=4^x-2^{x+2}+1$の$-1 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．
(4)直方体の各面にさいころのように$1$から$6$までの目が書かれている．この直方体を投げて，$1,\ 6$の目が出る確率はともに$p$であり，$2,\ 3,\ 4,\ 5$の目が出る確率はいずれも$q$である．この直方体を$1$回投げて，出た目の数を得点とする．このとき，得点の期待値は$p,\ q$の値によらずに一定であることを示せ．

座標平面上の点を，原点のまわりに角$\theta$だけ回転移動させる一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$A$とする．以下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって変換された点を点$\mathrm{P}_1$とする．$2$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$の間の長さを求めよ．
(2)$A^n=E$となる条件を示せ．ただし，$n$は$2$以上の整数，$0 \leqq \theta \leqq \pi$，$E$は単位行列とする．
(3)座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって$l$回変換された点を点$\mathrm{P}_l$とする．点$\mathrm{P}_0$が$A$によって$n$回変換されると，原点の周りを$1$周して元の点$\mathrm{P}_0$に戻るとする．$n$個の点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{n-1}$で囲まれた$n$角形の面積$S_n$を求めよ．また，$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$を用いて，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(4)座標平面上の点を，原点からの方向を変えずに距離を$k$倍する一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$B$とする．座標平面上の点$\mathrm{Q}_{i-1}$が一次変換$AB$によって点$\mathrm{Q}_i$に移るとする．点$\mathrm{Q}_0$を$(c_0,\ d_0)$とするとき，$2$点$\mathrm{Q}_{i-1}$，$\mathrm{Q}_i$の間の長さ$m_i$を$k,\ \theta,\ c_0,\ d_0$を用いて表せ．

次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ．

(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは，すべての$x$で等式$[　]$が成立することである．関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[　]$である．
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき，無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は，$x$の値が$[　]$以外のときであり，収束するときの無限級数の和は$[　]$である．
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[　]$であり，$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[　]$である．
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち，$y$座標が大きい方の座標は$[　]$である．この楕円の長軸の長さは$[　]$である．
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし，区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を，$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$，$\cdots$，$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする．各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる．$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき，この小区間での長方形の面積は$[　]$となり，それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする．また，$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする．このとき，$S_n-s_n$は$[　]$となる．

自然数$n$に対して，$\displaystyle S_n=\int_0^\pi \sin^n x \, dx$とする．

(1)$S_1$および$S_2$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{S_{n+2}}{S_n}=\frac{n+1}{n+2}$を示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nS_nS_{n+1}$を求めよ．

実数を成分とする行列
\[ M=\left( \begin{array}{cc}
1 & b \\
b & 1-a
\end{array} \right),\quad M^\prime=\left( \begin{array}{cc}
1 & b^\prime \\
b^\prime & 1-a^\prime
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
が$MM^\prime=M^\prime M$，$a \neq 0$，$a^\prime \neq 0$を満たし，$P^{-1}MP$が対角行列であるとする．ここで，対角行列とは$\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$の形の行列である．

(1)$a,\ b,\ a^\prime,\ b^\prime$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)$\tan 2\theta$を$a,\ b$を用いた式で表せ．
(3)$P^{-1}M^\prime P$が対角行列であることを示せ．