区間$0 \leqq x \leqq \pi$で連続な関数$f(x)$に対して，定積分
\[ I=\int_0^\pi \{t \sin x-f(x) \}^2 \, dx \quad (t \text{は実数}) \]
を考える．定数$c_1,\ c_2,\ c_3$を
\[ c_1=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx,\quad c_2=\int_0^\pi f(x) \sin x \, dx,\quad c_3=\int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$I$を，$t$および$c_1,\ c_2,\ c_3$を用いて表せ．
(2)$c_1$の値を求めよ． \\
以下では，$I$を最小にする$t$の値を$t_0$とし，その最小値を$I_0$とする．
(3)$t_0$を$c_2$を用いて表せ．また，$I_0$を$c_2,\ c_3$を用いて表せ．
(4)次の定積分$A,\ B$の値を求めよ．
\[ A=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad B=\int_0^\pi x \cos x \, dx \]
(5)$f(x)=x(\pi-x)$のとき，$c_2,\ c_3$および$I_0$の値をそれぞれ求めよ．

$n$は自然数とする．次の問に答えよ．

(1)次の不等式を示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}<2 \]
(2)$x>0$のとき，次の不等式を示せ．
\[ x-\frac{x^3}{6}<\sin x<x \]
(3)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n k \sin \frac{1}{k} \right) \]

$k$は正の実数とする．$xy$平面において，$x$軸および2つの曲線
\[ C_1:y=k \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right),\quad C_2:y=\frac{1}{k}\sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
で囲まれた図形の面積を$S(k)$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$および$\sin \alpha$を$k$を用いて表せ．
(2)$S(k)$を$k$を用いて表せ．
(3)$k$が$k>0$の範囲を動くときの$S(k)$の最大値を求めよ．

連続な関数$f(x)$が以下の式を満たすとき，次の問いに答えよ．
\[ \int_a^x (x-t)f(t) \, dt=\cos (ax)-b \]
ただし$a,\ b$は定数で$0<a<2$とする．

(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3) $f(x)$が最大値を取るときの$x$の値を求めよ．

曲線$C:y=e^{-x}$上の点$\mathrm{A}(a,\ e^{-a})$における$C$の法線$m$と直線$\ell_1:x=a$に関して，以下の問いに答えよ．

(1)$\ell_1$と$m$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(2)$m$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とするとき，$\ell_2$の方程式を$a$を用いて表せ．
(3)$\ell_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{P}$とおく．$a$が実数全体を動くとき，$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
(4)$a$を(3)で求めた値とするとき，曲線$C$，$y$軸および線分$\mathrm{AP}$で囲まれた部分を，$y$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

$xyz$空間内の$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{p}=(x,\ y,\ z)$を考え，$\displaystyle \overrightarrow{p^\prime}=\frac{\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{p}|}$とおく．

(1)$\overrightarrow{p^\prime}$の大きさを求めよ．
(2)$\overrightarrow{p}$と$x$軸，$y$軸，$z$軸の正の向きとのなす角をそれぞれ$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とおくとき，$\overrightarrow{p^\prime}=(\cos \alpha,\ \cos \beta,\ \cos \gamma)$を示せ．
(3)$\overrightarrow{p}=(3,\ 4,\ 12)$とする．頂点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ a_3)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ b_3)$の$\triangle \mathrm{OAB}$について，$\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$，$\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2,\ b_3)$はともに$\overrightarrow{p}$に垂直とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とおくとき，$xy$平面上の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}^\prime(a_1,\ a_2,\ 0)$，$\mathrm{B}^\prime(b_1,\ b_2,\ 0)$が作る$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の面積を$S$を用いて表せ．

$xy$平面上に，曲線$C_1:x=t-\sin t,\ y=1-\cos t \ (0 \leqq t \leqq 2\pi)$がある．$0<t<2\pi$をみたす$t$に対し，$C_1$上の点$\mathrm{P}_1(t-\sin t,\ 1-\cos t)$における$C_1$の法線を$m$とおき，$x$軸と$m$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点になるように点$\mathrm{P}_2$をとる．このとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)直線$m$の方程式を求めよ．また，$\mathrm{M},\ \mathrm{P}_2$の座標を$t$を用いて表せ．さらに，$\mathrm{P}_2$の$x$座標を$f(t)$とおくと，関数$f(t)$は，$0<t<2\pi$で増加することを示せ．
(2)$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くときの$\mathrm{P}_2$の軌跡を$C_2$とするとき，$x$軸と曲線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$t=0,\ 2\pi$に対しては，点$\mathrm{P}_2$をそれぞれ点$(0,\ 0)$，点$(2\pi,\ 0)$にとるものとする．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle I_1=\int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$とする．$x=\tan \theta$とおくことにより，$\displaystyle I_1=\frac{\pi}{3}$を示せ．
(2)(1)の$I_1$を部分積分して，$I_1$と$\displaystyle I_2=\int_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$の関係式を導き，$I_2$の値を求めよ．
(3)$t=x+\sqrt{x^2+1}$とおくことにより，不定積分$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ．
(4)合成関数の微分法を用いて，関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right\}$を求めよ．

平面上に異なる2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$ \\
と$\mathrm{B}$を通る直線$m_1,\ m_2,\ m_3$が図のように交わっており， \\
直線$\ell_1$と$m_1$の交点を$\mathrm{P}$，$\ell_2$と$m_2$の交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_3$と$m_3$の \\
交点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$\ell_1$と$\ell_3$，$\ell_2$と$\ell_3$，$m_1$と$m_2$，$m_2$ \\
と$m_3$のなす角はすべて$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であり，$\displaystyle 0<\angle \mathrm{PAB}<\frac{\pi}{3}$， \\
$\displaystyle 0<\angle \mathrm{PBA}<\frac{\pi}{3}$である．$\alpha=\angle \mathrm{PAB}$，$\beta=\angle \mathrm{PBA}$として，次の問いに答えなさい．
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(1)$\angle \mathrm{APB}+\angle \mathrm{AQB}$を求めなさい．
(2)5点$\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$が同一円周上にあることを示しなさい．
(3)5点$\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$を通る円の半径が1であるとき，五角形$\mathrm{AQRBP}$の面積を$\sin \alpha$，$\sin \beta$，$\sin 2 \alpha$，$\sin 2 \beta$を用いて表しなさい．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -3 \\
3 & 2
\end{array} \right)$で表される1次変換を$f$とする．$f$によって，点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$が移る点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，正の整数$n$に対して点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$が移る点を$\mathrm{P}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$とする．原点を$\mathrm{O}$として，以下の問いに答えよ．

(1)$\cos \angle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$の値を求めよ．
(2)2以上の整数$n$で，直線$\mathrm{OP}_n$が線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$と交わる最小の$n$を求めよ．
(3)$i$を虚数単位とする．0でない整数$n$に対して，実数$a_n,\ b_n$を$(2+3i)^n=a_n+b_ni$により定める．このとき次の等式
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & -b_n \\
b_n & a_n
\end{array} \right) \]
が0でないすべての整数$n$に対して成り立つことを証明せよ．ただし，正の整数$m$に対し$A^{-m}=(A^m)^{-1}$とする．