曲線$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^2-1)$を$C$とする．$a$は定数で$a>0$とし，点$\mathrm{A} \displaystyle \left( a,\ \frac{1}{2}(a^2-1) \right)$における$C$の接線を$\ell$とする．また$\ell$と直線$x=a$とのなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$を通る直線で，$\ell$となす角が$\theta$であるが，直線$x=a$とは異なるものの方程式を求めよ．

曲線$C:y=x \sin x$について，次の問に答えよ．

(1)$C$の接線のうち，原点を通る接線の方程式をすべて求めよ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$と$C$との交点のうち，第1象限にあるものを$x$座標の小さい方から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$とする．線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$と$C$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)点Q$_n \displaystyle \left( \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi,\ \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi \right)$に対して，$\triangle$P$_{2n-1}$P$_{2n}$Q$_n$の面積を$T_n$とする．このとき，$n$によらずに$\displaystyle \frac{S_n}{T_n}$が一定であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_5 11$と$\log_6 15$と$\displaystyle \frac{3}{2}$の大小を比較し，小さい方から順に並べよ．
(2)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{4}=\frac{1}{5}$であるとき，$\alpha$と$\displaystyle \frac{\pi}{4}$の大小を比較せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_5 11$と$\log_6 15$と$\displaystyle \frac{3}{2}$の大小を比較し，小さい方から順に並べよ．
(2)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{4}=\frac{1}{5}$であるとき，$\alpha$と$\displaystyle \frac{\pi}{4}$の大小を比較せよ．

媒介変数$\theta$を用いて$\displaystyle x=2\cos \theta,\ y=3\sin \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$と表される曲線がある．

(1)この曲線について$\theta$を消去して，$x,\ y$の方程式を求め，その概形をかけ．
(2)曲線上の点P$(2\cos \theta,\ 3\sin \theta)$での接線の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた接線と$x$軸，$y$軸とで作られる三角形の面積$S$を$\theta$の関数として表せ．

$n$を自然数とする．$\sqrt{3} \sin n \theta+\cos n \theta=0$を満たす$\theta>0$を小さいものから順に$n$個取り，$\theta_1,\ \theta_2,\ \cdots,\ \theta_n$とする．

(1)$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対し，$\theta_k$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n \cos \frac{\theta_n}{2}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \cos \frac{\theta_1}{2}+\cos \frac{\theta_2}{2}+\cdots +\cos \frac{\theta_n}{2} \right)$を求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点$\mathrm{O}$を始点とする$3$つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$が$\mathrm{O}$においてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$が$\mathrm{O}$においてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．$\mathrm{O}$とは異なる$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上の$3$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を頂点とする正三角形が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．$x,\ y$を正数とし，$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上に点P$_1$，P$_2$，P$_3$をそれぞれ，$\text{OP}_1=1,\ \text{OP}_2=x,\ \text{OP}_3=y$となるようにとる．$\triangle$P$_1$P$_2$P$_3$が正三角形となる$x,\ y$が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．Oとは異なる$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上の3点P$_1$，P$_2$，P$_3$を頂点とする正三角形が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

半径2の円板が$x$軸上を正の方向に滑らずに回転するとき，円板上の点Pの描く曲線$C$を考える．円板の中心の最初の位置を$(0,\ 2)$，点Pの最初の位置を$(0,\ 1)$とする．

(1)円板がその中心のまわりに回転した角を$\theta$とするとき，Pの座標は
\[ (2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \]
で与えられることを示せ．
(2)点P$(2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \ (0<\theta<2\pi)$における曲線$C$の法線と$x$軸との交点をQとする．線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ．ここで，Pにおいて接線に直交する直線を法線という．
(3)曲線$C$と$x$軸，2直線$x=0,\ x=4\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．