次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$に対し，
\[ x < \tan x\]
となることを示せ．
(2)$x>0$に対し，
\[ \log \left( x+\sqrt{1+x^2} \right) > \sin x \]
となることを示せ．ただし，対数は自然対数である．

媒介変数$t \ (0 < t \leqq \pi)$を用いて
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x=\sin t \\
\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2t
\end{array}
\right. \]
と表される$xy$平面上の曲線を$C_1$，
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle x=\cos \theta \sin t-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \sin 2t \\　\\
\displaystyle y=\sin \theta \sin t+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \sin 2t
\end{array}
\right. \]
と表される曲線を$C_2$とする．ここで，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$xy$平面上に$C_1$の概形を描け．
(2)直線$y=-\sqrt{3}x+k$が，$C_1$と少なくとも1点を共有するための実数$k$の条件を求めよ．
(3)直線$y=(\tan \theta)x+l$が，$C_2$と少なくとも1点を共有するための実数$l$の条件を求めよ．
(4)$C_1$が囲む領域の面積を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)加法定理を用いて，$\cos 2x$および$\cos 3x$を$\cos x$で表せ．
(2)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，関数$f(x)=\cos 3x+\cos 2x-2\cos x$の最大値および最小値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}(1+\sin x)\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$を考える．

(1)$f(x)$の増減と極値，および曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と，$x$軸および$2$直線$x=0,\ x=\pi$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$\displaystyle f(\theta)=4\left(\sin^3 \frac{\theta}{2}+\cos^3 \frac{\theta}{2} \right)+6\left(\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2} \right)(\sin \theta -2)-\sqrt{6}(\sin \theta +1)$とおく．ただし，$\theta$の範囲は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{3}{2}\pi$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}$とおくとき，$f(\theta)$を$x$のみの式で表せ．
(2)$f(\theta)$の最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

2つの関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x e^t(\sin t+\cos t)\, dt$と$\displaystyle g(x)=\int_0^x e^t(\cos t-\sin t) \, dt$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$と$g(x)$を求めよ．
(2)$f^{(n)}(x)$と$g^{(n)}(x)$をそれぞれ$f(x)$と$g(x)$の第$n$次導関数とする．

(3)$n \geqq 2$のとき， $f^{(n)}(x)$および$g^{(n)}(x)$を，$f^{(n-1)}(x)$と$g^{(n-1)}(x)$を用いて表せ．
(4)$\{f^{(n)}(x)\}^2+\{g^{(n)}(x)\}^2$を求めよ．
(5)実数$a$について，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2a}}{\{f^{(n)}(a)\}^2+\{g^{(n)}(a)\}^2}$の和を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin t-x \cos t| \, dt \quad (x>0) \]
とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$a>0$のとき，$a=\tan \theta$を満たす$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対して，$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

正の定数$a$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin t-ax \cos t| \, dt \]
とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

四面体OABCは$\displaystyle \text{OA}=1,\ \text{OB}=\sqrt{15},\ \text{OC}=2,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{AOC}=\frac{\pi}{3}$を満たしている．線分OAとOBを$s:1-s \ (0<s<1)$に内分する点をそれぞれP，Qとし，$\triangle$CPQの重心をGとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c},\ \angle \text{BOC}=\theta \ (0<\theta < \pi)$として，次に答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$は平面ABCに垂直であるとする．

(3)$s$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)線分OGとBCの長さ，および$\angle \text{BAC}$を求めよ．
(5)四面体OABCの体積$V$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，不等式$\displaystyle 2 \sin x > \cos \left( x-\frac{\pi}{6} \right)$を解け．
(2)$\log_3 5=a,\ \log_5 7=b$とするとき，$\log_{105} 175$を$a$と$b$で表せ．