関数$f(x)=x \cos x-\sin x$を区間$I:\pi \leqq x \leqq 3\pi$で考える．

(1)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(2)区間$I$における関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．区間$I$において$f(x)=0$をみたす$2$点を$x=s,\ t$とする．ただし$s<t$とする．
(3)$s$と$t$は，それぞれ次の$4$つの区間

$\displaystyle \pi \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi,\quad \frac{3}{2}\pi \leqq x \leqq 2\pi,$

$\displaystyle 2\pi \leqq x \leqq \frac{5}{2}\pi,\quad \frac{5}{2}\pi \leqq x \leqq 3\pi$

のどれに入るか．
(4)$x$軸の$4\pi-t \leqq x \leqq 2\pi$の部分，直線$x=4\pi-t$，直線$x=2\pi$および$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S$とする．また，$x$軸の$2\pi \leqq x \leqq t$の部分，$x=2\pi$および$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$T$とする．このとき$S$と$T$の大小を比較せよ．

関数$f(x)$を，
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
2x+1 & \displaystyle \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \\
2x+\sin x & \displaystyle \left( x \geqq \frac{\pi}{2} \right) \phantom{\frac{[ア]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定め，関数$g(x)$を，$g(x)=f(2x)-2f(x) (0 \leqq x \leqq 2\pi)$と定める．

(1)関数$g(x)$の最大値と最小値，およびそれらをとる$x$の値を求めよ．
(2)曲線$C:y=g(x)$の概形を描け．ただし，変曲点に留意しなくてよい．
(3)区間$[0,\ 2\pi]$で，曲線$C$と$x$軸の間にある部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

空間内に$5$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{D}(2,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{E}(3,\ 3,\ 2)$がある．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}}$のいずれにも垂直な単位ベクトルを求めよ．
(4)五面体$\mathrm{ABCDE}$の体積を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$は一辺の長さが$3$の正三角形であるとする．辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{CA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{E}$，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{F}$，$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(2)$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$\sin \angle \mathrm{AFB}$を求めよ．
(4)$\mathrm{BF}$の長さを求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を実数として，$A,\ B,\ C$を
\[ A=a+b+c,\quad B=a^2+b^2+c^2,\quad C=a^3+b^3+c^3 \]
とおく．このとき$abc$を$A,\ B,\ C$を用いて表せ．
(2)$n$を自然数とする．このとき
\[ \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\comb{2n}{2k+1}}{2k+2} \]
を求めよ．
(3)ボタンを押すと$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$いずれかの文字が画面に表示される機械がある．その機械では，$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$が表示される確率は，等しくかつ$\mathrm{Z}$が表示される確率の$2$倍である，とする．いま，ボタンを$5$回続けて押す．このとき，（$\mathrm{XYZYX}$のように）$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$すべての文字が少なくとも$1$回表示される確率を求めよ．
(4)逆行列をもつ$2$次の正方行列$A$が表す$1$次変換が，円$C:(x-1)^2+(y-\sqrt{3})^2=3^2$上の点を$C$上の点に移すとき，$A$を求めよ．ただし，$A$は単位行列と異なる行列とする．
(5)定積分
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}}{\sin x+\cos x} \, dx \]
を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について，$x=4(1-2 \sin^2 \theta)$，$y=8 \sin \theta \cos \theta$とし，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円$C$を考える．以下の設問に答えよ．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$\theta=0$の場合，原点$\mathrm{O}$から円$C$に$2$本の接線を引いたとき，この$2$本の接線のなす角を$\alpha$とする．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．このときの$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}$と$\tan \alpha$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を$\sin 2\theta$または$\cos 2\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$が$(3)$で求められた軌跡をたどったとき，円$C$が通過してできた図形の面積を求めよ．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[コ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)$\sqrt{6+4 \sqrt{2}}$の小数部分を$a$とすると，$a=[ア]$，$\displaystyle a^2-\frac{1}{a^2}=[イ]$となる．
(2)$2$次関数$y=3x^2-6x+a+6 (0 \leqq x \leqq 3)$の最小値が$5$となるような定数$a$の値は$[ウ]$である．また，このとき最大値は$[エ]$である．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$6$個の数字から異なる$3$個の数字を取り出して並べ，$3$桁の整数を作るとき，整数は全部で$[オ]$個，偶数は全部で$[カ]$個となる．
(4)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=7$，$\mathrm{DA}=3$とする．$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とするとき，$\cos \theta$は$[キ]$，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ク]$である．
(5)赤いカード$4$枚，青いカード$3$枚，合計$7$枚のカードがある．この中から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，$2$枚とも赤いカードとなる確率は$[ケ]$である．また，赤いカードを$1$点，青いカードを$5$点とするとき，取り出した$2$枚のカードの合計点の期待値は$[コ]$である．

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ト]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)$i$を虚数単位とする．$x=1+i$および$y=1-i$のとき，$x^2+5xy+4y^2$の値は実部が$[サ]$，虚部が$[シ]$となる．
(2)$2$点$(-1,\ 0)$，$(3,\ 2)$を通る半径が$\sqrt{10}$の円は，中心の座標が$([ス],\ [セ])$のものと$([ソ],\ [タ])$のものがある．
(3)$\alpha$と$\beta$が鋭角で，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \sin \beta=\frac{3}{5}$のとき，$\sin (\alpha+\beta)$の値は$[チ]$である．
(4)方程式$\displaystyle \log_2 x \cdot \log_2 \frac{x}{2}=12$の解は，$x=[ツ]$と$x=[テ]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n \cdot 2^{n+1}$で表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ト]$となる．

次の等式が$x$の恒等式になるような$a,\ b$を求めよ．
\[ \cos x+\cos (a+x)+\cos (b+x)=0 \]
ただし，$0 \leqq a \leqq \pi \leqq b \leqq 2\pi$とする．

$\overrightarrow{a}$は長さ$1$のベクトル，$\overrightarrow{b}$は長さ$3$のベクトルで，これらのベクトルのなす角度を$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$としたとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{2}$である．いま，ベクトル$k \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}$のなす角度が$2 \theta$であるとき，$k$の値を求めよ．