関数$y=\sin^3 x+\cos^3 x (0 \leqq x<2\pi)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$t=\sin x+\cos x$として，$\sin x \cos x$と$y$をそれぞれ$t$の関数で表せ．
(2)(1)で定めた$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$y$の最大値と最小値，および，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

$s$を実数とするとき，座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(s,\ |1-s|)$に対して，以下の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を$t$とおく．$t$を$s$の関数で表せ．また，その$s$の関数を$f(s)$とおくとき，$t=f(s)$のグラフを描け．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta \leqq 0$となる$s$の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{OC}$の長さの最小値を求めよ．また，そのときの$s$の値を求めよ．

次の問いに答えなさい．ただし，以下の角$\theta$は鋭角とし，$\tan \theta=t$とおく．

(1)$\tan 2\theta$を$t$を用いて表せ．また，特に$\tan 2\theta=\sqrt{8}$の場合に$t$の値を求めよ．
(2)加法定理を利用し，$\tan 3\theta$を$t$を用いて表せ．
(3)$\tan 3\theta=1$のとき，$t$の値を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{2}$（ただし，$x \leqq 0$）上に点$\displaystyle \mathrm{P} \left( a,\ \frac{a^2}{2} \right)$を，曲線$y=x^2$（ただし，$x \geqq 0$）上に点$\mathrm{Q}(b,\ b^2)$をとる．$\mathrm{P}$および$\mathrm{Q}$における接線をそれぞれ$\ell,\ m$とする．$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とし，$\theta=\angle \mathrm{PRQ}$とする．$2b-a=4$のとき，次の問いに答えよ．

(1)$\theta$を直角にする$a$の値を求めよ．
(2)$\theta$が直角でないとき，$\tan \theta$を$a$で表せ．
(3)$\theta$が最大および最小となる$a$の値をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=x \log x-\tan x$について，曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\pi}{4},\ f \left( \frac{\pi}{4} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ．

(2)定積分$\displaystyle A=\int_0^\pi e^{-ax} \cos 2x \, dx$を求めよ．ただし，$a \neq 0$とする．

(3)定積分$\displaystyle B=\int_0^\pi e^{-ax} \sin^2 x \, dx$，$\displaystyle C=\int_0^\pi e^{-ax} \cos^2 x \, dx$を求めよ．ただし，$a \neq 0$とする．

原点を$\mathrm{O}$とする$xyz$空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OPQR}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通り$z$軸に平行な$3$直線と$xy$平面との交点をそれぞれ$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{PQR}$，$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積をそれぞれ$S$，$S_1$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の$3$点を通る平面と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$S_1=S |\cos \theta|$を示せ．
(2)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の周上を含む内部にあるとき，$z$軸と$\triangle \mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{A}$とする．このとき正四面体$\mathrm{OPQR}$の体積$V$は$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{OA} \cdot S_1$となることを示し，$S_1$の最小値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の外部にあり，線分$\mathrm{OP}^\prime$と線分$\mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が交点$\mathrm{B}$をもつとき，点$\mathrm{B}$を通り$z$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$および直線$\mathrm{QR}$との交点をそれぞれ$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．このとき四角形$\mathrm{OQ}^\prime \mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積を$S_2$とすると$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{CD} \cdot S_2$となることを示し，$S_2$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \, dx$および$\displaystyle \int_0^\pi e^x \cos x \, dx$を求めよ．

(2)$\displaystyle \int_0^\pi xe^x \sin x \, dx$および$\displaystyle \int_0^\pi xe^x \cos x \, dx$を求めよ．

(3)次の関係を満足する関数$f(x),\ g(x)$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(x)=e^x \sin x+\int_0^\pi ug(u) \, du \\ \\
g(x)=e^x \cos x+\int_0^\pi uf(u) \, du
\end{array} \right. \]

次の$(1)$から$(6)$の$[　]$に適する答えを書きなさい．

(1)$\overrightarrow{a}=(4,\ 3)$に垂直な単位ベクトルは$2$つあり，$[　]$と$[　]$である．
(2)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から$4$つの数字を選んで$4$桁の整数をつくるとき，その個数は全部で$[　]$個である．ただし，各数字は$1$回しか使えないこととする．
(3)$2x^2-5xy-3y^2+3x+5y-2$を因数分解すると$[　]$となる．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，$\angle \mathrm{BAC}=50^\circ$，$\angle \mathrm{ICA}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{BIC}$は$[　]^\circ$となる．
(5)$1^2,\ 3^2,\ 5^2,\ 7^2,\ \cdots$の第$n$項までの和は$[　]$である．
(6)$\sin 75^\circ$，$\sin 22.5^\circ$を計算すると，それぞれ$[　]$，$[　]$となる．

三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さは，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=8$である．次の問いに答えよ．

(1)$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の面積を求めよ．ただし，円周率は$\pi$とする．
(3)$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

曲線$7x^2+2 \sqrt{3}xy+9y^2=30$上の点$(x,\ y)$に対して，変換
\[ \left\{ \begin{array}{l}
X=x \cos \theta-y \sin \theta \\
Y=x \sin \theta+y \cos \theta \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
を考える（ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする）．このとき$X,\ Y$のみたす式は
\[ a(\theta)X^2+b(\theta)XY+c(\theta)Y^2=30 \]
となる．ただし，$a(\theta)$，$b(\theta)$，$c(\theta)$は$\theta$のみにより決まる定数である．いま，$b(\theta)=0$をみたす$\theta$を$\theta_1$とする．

(1)$\theta_1$を求めよ．
(2)$a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$に内接する平行四辺形の面積の最大値を求めよ．