次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)不等式$x |x+2|<2x$の解は$[ア]$である．

(2)$a$を実数とする．$\displaystyle \frac{3+i}{1+ai}$の実部と虚部の和が$0$であるとき，$a=[イ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)座標平面上の点$(2,\ 1)$から円$x^2+y^2=1$へ引いた接線の方程式は$y=1$と$y=[ウ]$である．
(4)${128}^{\frac{1}{6}},\ 8^{\frac{2}{5}},\ {81}^{\frac{1}{5}}$のうち最大のものは$[エ]$である．
(5)$\cos {165}^\circ$の値は$[オ]$である．
(6)平面上に三角形$\mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[カ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[キ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(7)数列$\{a_k\}$は$a_1=0$と漸化式$a_{k+1}=2a_k+1 (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．このとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \log_8 (1+a_k)=[ク]$である．
(8)数字の$1$が書かれたカードが$1$枚，数字の$2$が書かれたカードが$2$枚，数字の$3$が書かれたカードが$3$枚ある．この$6$枚のカード全部を$1$列に並べるとき，数字の$2$が書かれたカードが連続して並ぶ確率は$[ケ]$である．

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さは$[ア]$である．
(2)$\tan {75}^\circ$の値は$[イ]$である．
(3)$5^x-5^{-x}=6$のとき，$5^x+5^{-x}=[ウ]$である．

(4)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{81}}=[エ]$である．

(5)$4$次方程式$2x^4-5x^2-3=0$の解は$x=[オ],\ [カ],\ [キ],\ [ク]$である．
(6)$2$点$\mathrm{A}(-6,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-4,\ 2,\ 7)$からの距離が等しい点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$のうち，$x,\ y,\ z$がすべて正の整数となるのは$(x,\ y,\ z)=[ケ]$である．
(7)不等式$\sqrt{|x-3|}<5$を満たす$x$の範囲は，$[コ]$である．
(8)正六角形の頂点を反時計回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[サ]$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)数列$\{a_n\}$が関係式
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{(n+1)a_n}{(3n+1)a_n+n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，$\displaystyle a_{200}=\frac{[ア]}{[イウエ]}$である．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$かつ$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{8}$のとき，$\displaystyle \sin \frac{3 \theta}{2}=\frac{[オ] \sqrt{[カ]}}{[キク]}$である．

関数$y=4 \cos^3 x+3 \sin^2 x-6 \cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について以下の問いに答えなさい．

(1)$\cos x=t$とおくとき，$y=4 \cos^3 x+3 \sin^2 x-6 \cos x$を$t$の関数として表しなさい．
(2)$t$の取り得る範囲を求めなさい．
(3)$y=4 \cos^3 x+3 \sin^2 x-6 \cos x$の最大値と最小値を求めなさい．またそのときの$x$の値も求めなさい．

$0 \leqq x<2\pi$，$0 \leqq y<2\pi$とする．

(1)方程式$\sin 2x+\sin x=0$の解は，
\[ x=0,\quad \frac{[ア]}{[イ]} \pi,\quad \pi,\quad \frac{[ウ]}{[エ]} \pi \]
である．ただし$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}<\frac{[ウ]}{[エ]}$とする．

(2)連立方程式$\sin x+\sin y=1$，$\cos x-\cos y=\sqrt{3}$の解は
\[ x=\frac{[オ]}{[カ]} \pi,\quad y=\frac{[キ]}{[ク]} \pi \]
である．

以下の問いに答えなさい．

(1)図の直角三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$とする．また，辺$\mathrm{BC}$を二等分する点を$\mathrm{D}$とし，$\angle \mathrm{BAD}$を$\alpha$，$\angle \mathrm{DAC}$を$\beta$とする．このとき$\sin \alpha$及び$\sin \beta$の値を求めなさい．

\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](0,42)(0,25)%
\tenretu*{A(35,23)n;B(5,5)w;C(35,5)e;D(20,5)s}%
{\thicklines
\Kakukigou\B\A\D<Hankei=12mm,moziiti=16mm>{$\alpha$}%
\Kakukigou<2>\D\A\C<Hankei=8mm,moziiti=12mm>{$\beta$}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\A\D}%
\put(33,5){\drawline(0,0)(0,2)}%
\put(33,7){\drawline(0,0)(2,0)}%
}
\tenretu*{D(36,23);E(2,3);F(36,3);G(10,5.5);H(20,2)}%
\emathPut\D{$\mathrm{A}$}
\emathPut\E{$\mathrm{B}$}
\emathPut\F{$\mathrm{C}$}
\emathPut\H{$\mathrm{D}$}
\end{zahyou*}

(2)半径$r (>0)$の円の円周の長さを$L$とし，面積を$S$とする．また，半径$r$の球の体積を$V$とする．このとき$x$についての$2$次方程式
\[ Vx^2+Sx-L=0 \]
の実数解がいくつあるか求めなさい．
(3)長さ$1$メートルの細いひもを$1$本だけ余すところなく用いて平面上に正三角形を$1$つ作ったとき，その正三角形の面積を求めなさい．また，同様にして正方形を$1$つ作ったとき，その正方形の面積を求めなさい．さらに，同様にして円を$1$つ作ったとき，その円の面積を求めなさい．ただし円周率を$\pi$とする．

実数$a,\ b,\ \alpha$を定数とし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{d_n}=(\cos n \alpha,\ \sin n \alpha) \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を座標平面上のベクトルとする．ベクトル$\overrightarrow{p_n}$を，
\[ \overrightarrow{p_1}=\overrightarrow{d_1},\quad \overrightarrow{p_{n+1}}=a \overrightarrow{p_n}+b \overrightarrow{d_{n-1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．$\overrightarrow{p_2}=\overrightarrow{d_2}$のとき次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を求めよ．
(2)すべての自然数$n$に対し，$\overrightarrow{p_n}=\overrightarrow{d_n}$となることを示せ．

次の定積分を求めよ．
\[ (1) \int_2^3 \frac{x^3+2}{x-1} \, dx \qquad (2) \int_0^3 e^{\sqrt{x}} \, dx \qquad (3) \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\log \cos x}{\cos^2 x} \, dx \]

次の問いに答えよ．

(1)次の関数の導関数を求めよ．

(i) $y=\sqrt{2-x^3}$
(ii) $y=x^2 \cos (\sqrt{2}x)$
(iii) $\displaystyle y=\frac{e^x-2}{e^x+2}$

(2)次の不定積分，定積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int \frac{x^2}{2-x} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int \sqrt[3]{x^5+x^3} \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 (1-x) \cos (\pi x) \, dx$

関数$f(x)=e^x(\sin x-\cos x) (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$となる$x$の値を求めよ．
(2)実数$s$に対して$f(x)=s$を満たす$x$の個数を$g(s)$と表す．$g(s)$を求めよ．
(3)(2)で求めた関数$g(s)$について，$t=g(s)$のグラフをかけ．