$0 \leqq x \leqq 2\pi$で連続な関数$f(x)$が
\[ f(x)=\cos x \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(y) \sin y \, dy+\sin x \]
をみたすとき，$f(x)$を求めよ．

$\theta$についての方程式
\[ \sin^2 \theta (\sin \theta+1)=k \cdots\cdots① \]
を考える．

(1)$①$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲でただ$1$つの解をもつような定数$k$の値の範囲は
\[ \frac{[ア]}{[イ][ウ]}<k \leqq [エ] \]
である．
(2)$①$が$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲で異なる$2$つの解をもつような定数$k$の値の範囲は
\[ [オ]<k \leqq \frac{[カ]}{[キ]} \]
である．

$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{L}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{LMN}$が直角になるように点$\mathrm{N}$をとる．


(1)$\displaystyle \mathrm{BN}=\frac{[ク]}{[ケ][コ]}$である．

(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{MNB}=\frac{\sqrt{[サ][シ]}}{[ス][セ]}$である．

$a$を正の定数とし，関数 \makebox{$y=a \cos x$} \ $\displaystyle \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを$C_1$，関数 \makebox{$y=\sin x$} \ $\displaystyle \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$\theta$とするとき，$\sin \theta$と$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形が，$C_2$によって面積の等しい$2$つの部分に分かれるとする．このとき，$a$の値を求めよ．

$a,\ b$を正の定数とする．

(1)$\displaystyle \int_0^{2\pi} |a \sin x+b \cos x| \, dx$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n+1}^{2n} \int_{\frac{2(k-1) \pi}{n}}^{\frac{2k \pi}{n}} \left( \log \frac{k}{n} \right) |a \sin nx+b \cos nx| \, dx$を求めよ．

平面上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$に対して，点$\mathrm{Q}(x,\ y)$を以下のように定める．
\[ \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
0 & 2 \\
\sqrt{3} & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{array} \right) \]
$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，次の問に答えよ．

(1)すべての点$\mathrm{Q}(x,\ y)$に対して，$ax^2+bxy+y^2$の値が$\theta$によらず一定であるとき，定数$a,\ b$の値は$a=[ヒ]$，$b=[フ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の距離の$2$乗の最小値は$[ヘ]$，最大値は$[ホ]$である．

媒介変数表示$\left\{ \begin{array}{l}
x=\theta-\sin \theta \\
y=\cos \theta
\end{array} \right. (0<\theta<2\pi)$で表される曲線$C$について，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$\theta$の関数で表せ．
(2)曲線$C$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

$[ア]$～$[オ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)どのような$2$次関数$f(x)$に対しても
\[ \int_0^2 f(x) \, dx \]
の値は，$f(0)$，$f(1)$，$f(2)$を用いて$[ア]$と表せる．
(2)$k$を実数とする．$xy$平面上の直線$y-2=k(x-1)$と放物線$y=x^2$によって囲まれる図形の面積は，$k=[イ]$のとき最小値$[ウ]$をとる．
(3)$p$を$5$以上の素数とする．$p^3$を$p-4$で割った余りが$4$であるとき，$p=[エ]$である．
(4)$\displaystyle \sum_{n=1}^{2013} \frac{\sin \displaystyle\frac{2n\pi}{7}-\cos \displaystyle\frac{2n\pi}{7}}{|\sin \displaystyle\frac{2n\pi|{7}-\cos \displaystyle\frac{2n\pi}{7}}}=[オ]$

次の空欄$[ア],\ [イ]$に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄$[ウ]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)ある自然数$n$について，命題「$n$が偶数ならば$n^2$は偶数である」の逆は$[ア]$，対偶は$[イ]$である．
(2)$3$次方程式$x^3+2x^2-8x-21=0$の解は$x=[ウ],\ [エ],\ [オ]$である．
(3)${(2x+\cos \theta)}^3$を展開したときの$x^2$の係数が$-6$のとき，$\theta=[カ]$である．ただし，$0 \leqq \theta<\pi$とする．
(4)$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+2k^2=0$が実数解をもつような実数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(5)不等式$-1+2 \log_2 (x+1)>\log_{\frac{1}{2}}(2-x)$を満たす$x$の値の範囲は$[ク]$である．
(6)$\mathrm{A}$君が徒歩と自転車で移動した．スタート地点から途中まで分速$80 \, \mathrm{m}$で$30$分歩き，その後自転車に乗って$10$分進んでゴールに着いたところ，平均の速さは分速$130 \, \mathrm{m}$であった．このときの自転車の速さは分速$[ケ] \, \mathrm{m}$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x,\ y,\ -1)$の大きさが等しく，なす角が${60}^\circ$のとき，$x$の値は$[コ]$，$[サ]$である．
(8)数列$1,\ 11,\ 111,\ 1111,\ 11111,\ \cdots$の第$n$項を$n$の式で表すと，$[シ]$となる．

次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$10$項までの和が$-8$，初項から第$21$項までの和が$14$である．この数列の初項$a_1$は$[ア]$で，公差は$[イ]$である．
(2)$2 \log_3 4+\log_9 5-\log_3 8=\log_3 x$の解は$x=[ウ]$である．

(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$のとき，$x^3+y^3$の値は$[エ]$である．

(4)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$となる自然数の組$(x,\ y)$で$x \geqq y$を満たすものをすべてあげると$(x,\ y)=[オ]$である．
(5)正の数$k$と角$\theta$に対して，$\sin \theta,\ \cos \theta$が$2$次方程式$5x^2-kx+2=0$の解となるような$k$の値は$[カ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{\sqrt{2}}=\frac{\sin B}{2}=\frac{\sin C}{1+\sqrt{3}}$であるとき，$\cos C$の値は$[キ]$である．
(7)整式$P(x)$を$2x^2+9x-5$で割ると余りが$3x+5$であり，$x-2$で割ると余りが$-3$であるとき，$P(x)$を$x^2+3x-10$で割ると，余りは$[ク]$である．
(8)座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(-1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ -1,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{D}(x,\ y,\ z)$がある．これら$4$点が同一平面上にあり，かつこれらを頂点とする四角形がひし形であるのは，$(x,\ y,\ z)=[ケ]$のときである．