$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=12$，$\mathrm{CA}=13$のとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{B}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．

関数$y=\cos^2 \theta+2 \sin \theta+2$について，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \theta=t$とおくとき，$y$を$t$の式で表せ．

(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$y$の値を求めよ．

(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$y$の最大値および最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{4x+5}{x^2+1}$とする．
$f(x)$は，$\cos x=[$12$]$で最小値$[$13$]$を，$x=[$14$]$で最大値$[$15$]$をとる．
(2)$f(x)=\cos 5x+9 \cos 3x-10 \cos x$とする．
$f(x)$は，$\cos x=[$16$]$のとき最小値$[$17$]$をとる．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2-x-y-xy-2=0$を満たすとき，$x$の最小値は$[$18$]$，最大値は$[$19$]$である．また，$x+y$の最小値は$[$20$]$，最大値は$[$21$]$である．

$\displaystyle f(x)=\int_0^x (x-t)^2 (\sin t+\cos t) \, dt$とする．このとき，$f^\prime(x)=[$22$]$，$f^{\prime\prime}(x)=[$23$]$となる．また，$f(\pi)=[$24$]$である．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CD}=4$，$\mathrm{DA}=5$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\cos \angle \mathrm{BAD}$の値を求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=12$，$\mathrm{CA}=13$のとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{B}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$の分母を有理化して簡単にせよ．
(2)$x^3+x^2y-x^2z-xy^2-y^3+y^2z$を因数分解せよ．
(3)$1$冊$180$円のノートと$1$本$80$円の鉛筆をいくつか買い，代金の合計を$900$円以下にしたい．買い方は何通りあるか求めよ．ただし，ノートは$2$冊以上，鉛筆は$1$本以上買うものとする．
(4)$k$を実数とする$2$次方程式$x^2+x+k=0$の解が$\sin \theta$，$\cos \theta$で表されるとき，$k,\ \theta$の値を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(5)$3 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1,\ 0)$，$\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}=(0,\ 1)$であるとき，$(3,\ -1)$を$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$x^2+ax+2x+3a-3$を因数分解せよ．
(2)男$4$人，女$2$人が一列に並ぶとき，女$2$人が隣接する並び方は$[　]$通り．
(3)$x^2-11x+1>0$を解け．
(4)$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin \theta=[　]$である．
(5)循環小数$1. \dot{2} \dot{1}$を分数で表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$x^2+4xy+3y^2-2x-8y-3$を因数分解せよ．
(2)$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3$の$8$個の数字を用いて作ることができる$8$桁の整数の個数を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=7$のとき$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．
(4)放物線$y=x^2+2x-1$を原点に関して，対称移動したときの放物線の式を求めよ．
(5)$2$次関数$y=-x^2+6x-9$の最大値，最小値があれば，それを求めなさい．

$\angle \mathrm{A}={36}^\circ$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の底角$\mathrm{C}$の二等分線が$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\mathrm{BC}=2$のとき，辺$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)$(1)$の結果を使って，$\sin {18}^\circ$と$\cos {36}^\circ$の値を求めよ．