$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ABC}=90^\circ$の直角二等辺三角形であり，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}$とする．辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{F}$があり，$\mathrm{DE}=3$，$\mathrm{EF}=4$，$\angle \mathrm{DEF}=90^\circ$である．$\mathrm{E}$から$\mathrm{BC}$に下した垂線の足を$\mathrm{H}$とし，$\angle \mathrm{EDC}=\theta$，$\mathrm{BD}=x$とするとき，以下の各問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{AFE}$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{EH}$の長さを$\sin \theta$の簡単な式で表せ．
(3)$\mathrm{CE}$の長さを$\sin \theta$の簡単な式で表せ．
(4)$\mathrm{AE}$の長さを$\sin \theta$の簡単な式で表せ．
(5)$\sin \theta$を$x$の簡単な式で表せ．
(6)$x$を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は鈍角三角形で$B=30^\circ$，$a=\sqrt{3}-1$，$c=3-\sqrt{3}$とする．

(1)$b$の長さを求めなさい．
(2)$\cos C$を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，$1+2 \sin x<x+e^x$が成り立つことを示せ．
(2)$x \geqq 0$の範囲にあって，$2$つの曲線$y=1+2 \sin x,\ y=x+e^x$と直線$x=\pi$とで囲まれる領域を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

$\theta$は$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたす実数とする．$xyz$空間内の平面$z=0$上に$2$点
\[ \mathrm{P}_\theta (\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}_\theta (2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta,\ 0) \]
をとり，$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で動かすとき，線分$\mathrm{P}_\theta \mathrm{Q}_\theta$が通過する部分を$D$とする．空間内の$z \geqq 0$の部分において，底面が$D$，$\mathrm{P}_\theta \mathrm{Q}_\theta$上の各点での高さが$\displaystyle \frac{2}{\pi}\theta$の立体$K$を考える．半球$B:x^2+y^2+z^2 \leqq 2^2$，$z \geqq 0$と$K$の共通部分を$L$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$B$を平面$z=t (0 \leqq t<2)$で切った切り口の円の半径を$t$を用いて表せ．
(2)$L$の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$\sqrt{3} \cos \theta+3 \sin \theta-\sqrt{6}>0 (0 \leqq \theta<2\pi)$の解は$\displaystyle \frac{\pi}{[ア][イ]}<\theta<\frac{[ウ]}{[エ][オ]} \pi$である．

(2)$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
と表せる．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とし，$\theta=\angle \mathrm{BAD}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$\cos \theta$の値を$a,\ b,\ c$の式で表せ．

(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c} \cos \theta$であることを示せ．

(3)$a=3,\ b=4,\ c=2$のとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とし，$\theta=\angle \mathrm{BAD}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$\cos \theta$の値を$a,\ b,\ c$の式で表せ．

(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{2bc}{b+c} \cos \theta$であることを示せ．

(3)$a=3,\ b=4,\ c=2$のとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)角度$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$であって$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5}$を満たすとき，
\[ \sum_{n=1}^\infty \sin^n \theta=\frac{[シ]}{[ス]},\quad \sum_{n=1}^\infty \cos^n \theta=\frac{[セ][ソ]}{[タ]} \]
である．
(2)初項$7$，公差$9$の等差数列$\{a_n\}$について，
\[ S_n=\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3a_4}+\cdots +\frac{1}{a_na_{n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とすると，$\displaystyle S_n=\frac{1}{[チ]} \left( \frac{1}{[ツ]}-\frac{1}{[テ]n+[ト]} \right)$であって，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=\frac{1}{[ナ][ニ]}$である．

行列$\displaystyle A=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1
\end{array} \right)$を考える．また，$E$を単位行列とする．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) (0 \leqq \theta<2\pi)$と表すと，$\displaystyle \theta=\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)$E+A+A^2=\left( \begin{array}{cc}
[ウ] & -\sqrt{[エ]} \\
\sqrt{[オ]} & [カ]
\end{array} \right)$，$A^3=\left( \begin{array}{cc}
[キ][ク] & [ケ] \\
[コ] & [サ][シ]
\end{array} \right)$，$E+A+A^2+A^3+A^4+A^5=\left( \begin{array}{cc}
[ス] & [セ] \\
[ソ] & [タ]
\end{array} \right)$である．
(3)$E+A+A^2+A^3+\cdots +A^{20}=\left( \begin{array}{cc}
[チ] & -\sqrt{[ツ]} \\
\sqrt{[テ]} & [ト]
\end{array} \right)$である．

座標平面において，媒介変数$t$の範囲が$0 \leqq t \leqq \pi$であるサイクロイド
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \]
を$C$とする．

(1)曲線$C$上で$y$座標が最大になる点を$\mathrm{A}$とすると，$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(2)直線$y=x+k$がこの曲線$C$の$0<t \leqq \pi$の部分に接するのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ウ]}$のときであり，その接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\pi}{[エ]}-[オ],\ [カ] \right)$である．このとき，$\displaystyle k=[キ]-\frac{\pi}{[ク]}$である．
(3)曲線$C$と$x$軸，および点$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]} \pi$である．
(4)$(2)$の接線，$x$軸および直線$\ell$とで囲まれた図形から$(3)$の図形を除いた部分の面積は$\displaystyle \frac{\pi^2}{[サ]}-\frac{\pi}{[シ]}+[ス]$である．