$xy$平面上に，円$K:x^2+y^2=1$と放物線$C:y=x^2-2$がある．$K$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta) (\pi<\theta<2\pi)$における$K$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$C$で囲まれる部分の面積を$S$とする．

(1)$\ell$の方程式を$\theta$を用いて表せ．
(2)$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$S$の最小値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$k$を実数とする．関数$f(x)=(k-\cos x)(k-\sin x) (0 \leqq x \leqq \pi)$が$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で極値をとるとする．

(1)$k$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle \sin (\theta+\frac{2}{3}\pi)+\cos (\theta+\frac{1}{6}\pi)$を$r \sin (\theta+\alpha)$と表せば，$r=[ア]$，$\alpha=[イ]$である．ただし，$0 \leqq \alpha<2\pi$とする．
(2)$a>0$とするとき，$3$辺の長さが$a,\ a^2,\ a^3$となる三角形が存在するのは，$[ウ]<a<[エ]$のときである．

$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{AC}=5$とする．そして，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$をとる（ただし，点$\mathrm{D}$は点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$と一致しない）．また，$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円の半径を$r_1$，$\triangle \mathrm{ACD}$の外接円の半径を$r_2$とする．次の問に答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{AD}=\mathrm{AC}$の場合，線分$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{AD}=t$として，$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$の値は$t$の値によらず一定であることを示し，その値を求めよ．

関数$f(x)=\sin x(1+\cos x) (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

$1$辺の長さが$a$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)線分$\mathrm{AP}$，線分$\mathrm{AQ}$，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{PAQ}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{PAQ}$の面積を求めよ．

空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-2,\ 3,\ -2)$，$\mathrm{C}(2,\ -3,\ 3)$がある．以下の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とすると，
\[ \cos \theta=-\frac{[ノ] \sqrt{[ハ]}}{[ヒフ]} \]
である．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$が平行四辺形となるとき，
\[ \mathrm{D}([ヘ],\ [ホマ],\ [ミ]) \]
である．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$と$\mathrm{P}(1,\ 2,\ z)$が同一平面上にあるとき，
\[ z=-\frac{[ム]}{[メ]} \]
である．

$xy$平面上の曲線$C_1:y=x \sin x$と，傾き$m$の直線$C_2:y=mx$について，次の問いに答えよ．

(1)点$(a,\ a \sin a)$における$C_1$の接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$が$0<x<\pi$の範囲で接する$m$の値を求めよ．
(3)$(2)$のとき，$C_1$を$0 \leqq x \leqq \pi$に制限した曲線と$C_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)$(3)$で得られた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)曲線$y=\log (1-x^2)$上のある点における接線の傾きが$-\sqrt{3}$のとき，その点の$x$座標を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{a}=(3^x,\ 3^{-x})$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0)$とする．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとき，$x$の値を求めなさい．
(3)方程式$\displaystyle \cos \left( x+\frac{\pi}{6} \right)+\sin x=0$を解きなさい．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．
\[ f(x)=\frac{1}{2} \sin^2 x+4 \sin x \cos x+\frac{1}{2} \cos^2 x+\sin x+\cos x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最大値および最小値を次のようにして求める．

まず，$t=\sin x+\cos x$とおくと，$t$の値がとりうる範囲は$[ア]$である．次に，$\sin x \cos x$を$t$の式で表すと$[イ]$である．よって，$f(x)$を$t$の式で表した関数を$g(t)$とすると，$g(t)=[ウ]$となる．
$g(t)$は$[ア]$の範囲で$t=[エ]$のときに最大値$[オ]$をとり，$t=[カ]$のときに最小値$[キ]$をとる．したがって，$f(x)$の最大値は$[オ]$，最小値は$[キ]$である．