座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$，$\mathrm{P}(t,\ -t)$，$\mathrm{Q}(0,\ -t)$（ただし，$t>0$）をとる．$\angle \mathrm{APB}=\theta$とおく．

(1)$\tan \angle \mathrm{APQ}$を$t$を用いて表せ．
(2)$\tan \theta$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{\tan \theta}$を考えることにより，$\tan \theta$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を$2$以上の自然数とするとき，関数
\[ f_n(\theta)=(1+\cos \theta) \sin^{n-1} \theta \]
の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値$M_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}{(M_n)}^n$を求めよ．

$\theta$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_2=\cos \theta,\quad a_{n+2}=\frac{3}{2}a_{n+1}-a_n \]
により定める．すべての$n$について$a_n=\cos (n-1) \theta$が成り立つとき，$\cos \theta$を求めよ．

$1$以上$6$以下の$2$つの整数$a,\ b$に対し，関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次の条件（ア），（イ），（ウ）で定める．

（ア） $f_1(x)=\sin (\pi x)$
（イ） $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
（ウ） $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

以下の問いに答えよ．

(1)$a=2,\ b=3$のとき，$f_5(0)$を求めよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回投げて，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とするとき，$f_6(0)=0$となる確率を求めよ．

極方程式で表された$xy$平面上の曲線$r=1+\cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$を$C$とする．以下の問に答えよ．

(1)曲線$C$上の点を直交座標$(x,\ y)$で表したとき，$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=0$となる点，および$\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=0$となる点の直交座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{\theta \to \pi} \frac{dy}{dx}$を求めよ．
(3)曲線$C$の概形を$xy$平面上にかけ．
(4)曲線$C$の長さを求めよ．

大きさ$1$のベクトル$\overrightarrow{a}$と，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする．


(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$，$\theta$を用いて表しなさい．

(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる．$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい．

$2$つの曲線$\displaystyle y=x+2 \cos x \left( \frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi \right)$と$\displaystyle y=x-2 \cos x \left( \frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi \right)$をつないでできる曲線を$C$とする．

(1)曲線$C$の概形を図示しなさい．
(2)$k$を実数とする．曲線$C$と直線$y=k$が異なる$2$点で交わるための$k$の値の範囲を求めなさい．
(3)曲線$C$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．

$a>0$に対し，関数$f(x)$が
\[ f(x)=\int_{-a}^a \left\{ \frac{e^{-x}}{2a}+f(t) \sin t \right\} \, dt \]
をみたすとする．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$0<a \leqq 2 \pi$において，
\[ g(a)=\int_{-a}^a f(t) \sin t \, dt \]
の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数，$i$を虚数単位とし，$z$を$z=\cos \theta+i \sin \theta$で表される複素数とする．このとき，整数$n$に対して次の式を証明せよ．
\[ \cos n\theta=\frac{1}{2} \left( z^n+\frac{1}{z^n} \right),\quad \sin n\theta=-\frac{i}{2} \left( z^n-\frac{1}{z^n} \right) \]
(2)次の方程式を満たす実数$x (0 \leqq x<2\pi)$を求めよ．
\[ \cos x+\cos 2x-\cos 3x=1 \]
(3)次の式を証明せよ．
\[ \sin^2 {20}^\circ+\sin^2 {40}^\circ+\sin^2 {60}^\circ+\sin^2 {80}^\circ=\frac{9}{4} \]

$\triangle \mathrm{ABC}$が，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1+\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{ACB}={45}^\circ$をみたすとする．

(1)$\beta=\angle \mathrm{ABC}$とおくとき，$\sin \beta$および$\cos 2\beta$の値を求めよ．
(2)$(1)$の$\beta$の値をすべて求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$が鋭角三角形であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす実数$s,\ t$を求めよ．