「三角柱」について
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私立 武庫川女子大学 2014年 第1問次の空欄$[$1$]$～$[$18$]$にあてはまる数字を入れよ．
(1)$\displaystyle \sqrt{\frac{31 \sqrt{3}+31 \sqrt{5}-10 \sqrt{42}-6 \sqrt{70}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$
$=\sqrt{[$1$][$2$]-[$3$] \sqrt{[$4$][$5$][$6$]}}$
$=\sqrt{[$7$][$8$]}-\sqrt{[$9$][$10$]}$
(2)$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=16$，$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする三角柱の内部に球がある．球は，三角柱の$5$つの面すべてに接している．このとき，
(i) 底面の三角形の面積は$[$11$][$12$] \sqrt{[$13$]}$である．
(ii) 球の半径は$[$14$] \sqrt{[$15$]}$である．
(iii) 三角柱の体積は$[$16$][$17$][$18$]$である．
(1)$\displaystyle \sqrt{\frac{31 \sqrt{3}+31 \sqrt{5}-10 \sqrt{42}-6 \sqrt{70}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$
$=\sqrt{[$1$][$2$]-[$3$] \sqrt{[$4$][$5$][$6$]}}$
$=\sqrt{[$7$][$8$]}-\sqrt{[$9$][$10$]}$
(2)$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=16$，$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする三角柱の内部に球がある．球は，三角柱の$5$つの面すべてに接している．このとき，
(i) 底面の三角形の面積は$[$11$][$12$] \sqrt{[$13$]}$である．
(ii) 球の半径は$[$14$] \sqrt{[$15$]}$である．
(iii) 三角柱の体積は$[$16$][$17$][$18$]$である．
公立 大阪市立大学 2014年 第3問図のような三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$が中心$\mathrm{O}$，半径$1$の球に内接している．すなわち，三角柱の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$はすべて，中心$\mathrm{O}$，半径$1$の球面上にある．また，三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$は合同な正三角形で，四角形$\mathrm{ADEB}$，四角形$\mathrm{BEFC}$，四角形$\mathrm{CFDA}$は合同な長方形であるとする．$\angle \mathrm{AOD}=2 \alpha$，$\angle \mathrm{AOB}=2 \beta$とおく．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{3}$とする．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ．
(2)三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ．
(2)三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．
私立 自治医科大学 2013年 第23問$9$つの辺の長さの総和が$9$である正三角柱（底面が正三角形である三角柱）の体積を$V$とする．各辺の長さが変化するとき，$V$の最大値を$M$とする．$\displaystyle \frac{12}{\sqrt{3}}M$の値を求めよ．
国立 徳島大学 2010年 第4問下の図の三角柱OAB-CDEにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，
\begin{align}
& |\overrightarrow{a}|=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{b}|=\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{c}|=4 \nonumber \\
& \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =1,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=0 \nonumber
\end{align}
とする．辺AD，BE上にそれぞれ点P，Qをとり，$\text{AP}=s,\ \text{BQ}=t$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$\text{OP} \perp \text{PQ}$となるとき，$t$を$s$を用いて表せ．
(3)$\triangle$OPQが$\text{OP}=\text{PQ}$の直角二等辺三角形となるように，$s,\ t$の値を定めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
\begin{align}
& |\overrightarrow{a}|=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{b}|=\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{c}|=4 \nonumber \\
& \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =1,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=0 \nonumber
\end{align}
とする．辺AD，BE上にそれぞれ点P，Qをとり，$\text{AP}=s,\ \text{BQ}=t$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$\text{OP} \perp \text{PQ}$となるとき，$t$を$s$を用いて表せ．
(3)$\triangle$OPQが$\text{OP}=\text{PQ}$の直角二等辺三角形となるように，$s,\ t$の値を定めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
国立 お茶の水女子大学 2010年 第4問右図のような三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$を考える．
\img{177_2307_2010_1}{10}
(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5,\ \mathrm{BC}=3,\ \mathrm{AD}=10$とする．三角形$\mathrm{ABC}$と三角形 \\
$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正三角形となると \\
き，その正三角形の面積を求めよ．
(2)底面がどのような三角形であっても高さが十分に高ければ，三角形 \\
$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正 \\
三角形となりうることを示せ．
\img{177_2307_2010_1}{10}
(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5,\ \mathrm{BC}=3,\ \mathrm{AD}=10$とする．三角形$\mathrm{ABC}$と三角形 \\
$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正三角形となると \\
き，その正三角形の面積を求めよ．
(2)底面がどのような三角形であっても高さが十分に高ければ，三角形 \\
$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正 \\
三角形となりうることを示せ．