「三角形」について
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国立 広島大学 2012年 第3問図のような$3$辺の長さをもつ三角形$\mathrm{ABC}$がある．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
次の問いに答えよ．
(1)$45^\circ < \angle \mathrm{B} < 60^\circ$を証明せよ．
(2)$\angle \mathrm{A}=2\angle \mathrm{C}$を証明せよ．
(3)$40^\circ < \angle \mathrm{C} < 45^\circ$を証明せよ．
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（図は省略）
次の問いに答えよ．
(1)$45^\circ < \angle \mathrm{B} < 60^\circ$を証明せよ．
(2)$\angle \mathrm{A}=2\angle \mathrm{C}$を証明せよ．
(3)$40^\circ < \angle \mathrm{C} < 45^\circ$を証明せよ．
国立 広島大学 2012年 第4問$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする．原点Oを中心とする単位円周上の異なる3点A，B，Cが条件
\[ (\cos \theta) \overrightarrow{\mathrm{OA}} + (\sin \theta) \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)2つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は垂直であることを証明せよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|,\ |\overrightarrow{\mathrm{CB}}|$を$\theta$を用いて表せ．
(3)三角形ABCの周の長さ$\text{AB}+ \text{BC} + \text{CA}$を最大にする$\theta$を求めよ．
\[ (\cos \theta) \overrightarrow{\mathrm{OA}} + (\sin \theta) \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)2つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は垂直であることを証明せよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|,\ |\overrightarrow{\mathrm{CB}}|$を$\theta$を用いて表せ．
(3)三角形ABCの周の長さ$\text{AB}+ \text{BC} + \text{CA}$を最大にする$\theta$を求めよ．
国立 筑波大学 2012年 第2問曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x+2} \ (x>-2)$を考える．曲線$C$上の点P$_1 \displaystyle (0,\ \frac{1}{2})$における接線を$\ell_1$とし，$\ell_1$と$x$軸との交点をQ$_1$，点Q$_1$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点をP$_2$とおく．以下同様に，自然数$n \ (n \geqq 2)$に対して，点P$_n$における接線を$\ell_n$とし，$\ell_n$と$x$軸との交点をQ$_n$，点Q$_n$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点をP$_{n+1}$とおく．
(1)$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)P$_n$の$x$座標を$x_n \ (n \geqq 1)$とする．$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表し，$x_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\ell_n$，$x$軸，$y$軸で囲まれる三角形の面積$S_n$を求め，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(1)$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)P$_n$の$x$座標を$x_n \ (n \geqq 1)$とする．$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表し，$x_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\ell_n$，$x$軸，$y$軸で囲まれる三角形の面積$S_n$を求め，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
国立 筑波大学 2012年 第4問四面体$\mathrm{OABC}$において，次が満たされているとする．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}} \]
点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{O}$を通り平面$\alpha$と直交する直線と，平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．
(2)点$\mathrm{H}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心であること，すなわち$\overrightarrow{\mathrm{AH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}},\ \overrightarrow{\mathrm{BH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CA}},\ \overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$を示せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=2,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=1$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さおよび線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}} \]
点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{O}$を通り平面$\alpha$と直交する直線と，平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．
(2)点$\mathrm{H}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心であること，すなわち$\overrightarrow{\mathrm{AH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}},\ \overrightarrow{\mathrm{BH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CA}},\ \overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$を示せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=2,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=1$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さおよび線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
国立 筑波大学 2012年 第6問2つの双曲線$C:x^2-y^2=1,\ H:x^2-y^2=-1$を考える．双曲線$H$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$に対して，方程式$sx-ty=1$で定まる直線を$\ell$とする．
(1)直線$\ell$は点$\mathrm{P}$を通らないことを示せ．
(2)直線$\ell$と双曲線$C$は異なる$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$で交わることを示し，$\triangle \mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{G}$の座標を$s,\ t$を用いて表せ．
(3)(2)における$3$点$\mathrm{G}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に対して，$\triangle \mathrm{GQR}$の面積は点$\mathrm{P}(s,\ t)$の位置によらず一定であることを示せ．
(1)直線$\ell$は点$\mathrm{P}$を通らないことを示せ．
(2)直線$\ell$と双曲線$C$は異なる$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$で交わることを示し，$\triangle \mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{G}$の座標を$s,\ t$を用いて表せ．
(3)(2)における$3$点$\mathrm{G}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に対して，$\triangle \mathrm{GQR}$の面積は点$\mathrm{P}(s,\ t)$の位置によらず一定であることを示せ．
国立 防衛医科大学校 2012年 第1問以下の問に答えよ．
(1)以下の条件 (ア)，(イ) を満たす正の整数は，小さい順に並べると，等差数列になる．この数列の初項と公差を求めよ．
\mon[(ア)] $13$で割ると余りが$2$となる．
\mon[(イ)] $11$で割ると商が奇数，余りが$3$となる．
(2)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{CE}$と$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{NEA}$の面積は$\triangle \mathrm{NCM}$の面積の何倍となるか．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$を求めよ．
(1)以下の条件 (ア)，(イ) を満たす正の整数は，小さい順に並べると，等差数列になる．この数列の初項と公差を求めよ．
\mon[(ア)] $13$で割ると余りが$2$となる．
\mon[(イ)] $11$で割ると商が奇数，余りが$3$となる．
(2)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{CE}$と$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{NEA}$の面積は$\triangle \mathrm{NCM}$の面積の何倍となるか．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$を求めよ．
国立 熊本大学 2012年 第2問実数$c$に対して，行列
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -c \\
c & 1
\end{array} \biggr) \]
で表される1次変換を$T$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$T$は原点の回りの回転移動と原点中心の拡大(相似変換)との合成変換であることを示せ．
(2)$xy$平面上の同一直線上にない3点P，Q，Rが$T$によってそれぞれP$^\prime$，Q$^\prime$，R$^\prime$に移るとする．三角形P$^\prime$Q$^\prime$R$^\prime$の面積が三角形PQRの面積の2倍となる$c$の値を求めよ．
(3)$c=2$とする．楕円
\[ E:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \]
上の点が$T$によって楕円$E^\prime$上の点に移るとする．$E$が$E^\prime$の内部にあることを示し，$E^\prime$の内部にあり$E$の外部にある部分の面積を求めよ．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -c \\
c & 1
\end{array} \biggr) \]
で表される1次変換を$T$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$T$は原点の回りの回転移動と原点中心の拡大(相似変換)との合成変換であることを示せ．
(2)$xy$平面上の同一直線上にない3点P，Q，Rが$T$によってそれぞれP$^\prime$，Q$^\prime$，R$^\prime$に移るとする．三角形P$^\prime$Q$^\prime$R$^\prime$の面積が三角形PQRの面積の2倍となる$c$の値を求めよ．
(3)$c=2$とする．楕円
\[ E:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \]
上の点が$T$によって楕円$E^\prime$上の点に移るとする．$E$が$E^\prime$の内部にあることを示し，$E^\prime$の内部にあり$E$の外部にある部分の面積を求めよ．
国立 滋賀大学 2012年 第1問長さ1の線分ABを直径とする円周上の点をPとするとき，次の問いに答えよ．ただし，PはA，Bとは異なるものとする．
(1)$\angle \text{PAB}=\theta$とするとき，線分AP，BPの長さを$\theta$を用いて表せ．
(2)PからABに下ろした垂線とABとの交点をCとする．$\triangle$APCと$\triangle$BPCの周の長さの和$L$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$L$の最大値を求め，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$\angle \text{PAB}=\theta$とするとき，線分AP，BPの長さを$\theta$を用いて表せ．
(2)PからABに下ろした垂線とABとの交点をCとする．$\triangle$APCと$\triangle$BPCの周の長さの和$L$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$L$の最大値を求め，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 滋賀大学 2012年 第4問$\triangle$ABCにおいて，$\text{AB}=3,\ \text{AC}=5,\ \text{BC}=2\sqrt{6}$とする．$\triangle$ABCの外心をOとし，Oから辺ABに下ろした垂線とABの交点をM，Oから辺ACに下ろした垂線とACの交点をN，直線AOと辺BCの交点をDとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AO}}|$の値を求めよ．
(3)$\text{BD}:\text{DC}=s:1-s,\ \overrightarrow{\mathrm{AO}}=k\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NO}}$をそれぞれ$k,\ s,\ \overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AO}}|$の値を求めよ．
(3)$\text{BD}:\text{DC}=s:1-s,\ \overrightarrow{\mathrm{AO}}=k\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NO}}$をそれぞれ$k,\ s,\ \overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
国立 熊本大学 2012年 第2問実数$c$に対して，行列
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -c \\
c & 1
\end{array} \biggr) \]
で表される1次変換を$T$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$xy$平面上の同一直線上にない3点P，Q，Rが$T$によってそれぞれP$^\prime$，Q$^\prime$，R$^\prime$に移るとする．三角形P$^\prime$Q$^\prime$R$^\prime$の面積が三角形PQRの面積の$k$倍($k \geqq 1$)となる$c$の値を求めよ．
(2)楕円
\[ E:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \]
上の点が$T$によって楕円$E^\prime$上の点に移るとする．楕円$E^\prime$上のすべての点が楕円$E$の周上または外部にあるための，$c$の条件を求めよ．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -c \\
c & 1
\end{array} \biggr) \]
で表される1次変換を$T$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$xy$平面上の同一直線上にない3点P，Q，Rが$T$によってそれぞれP$^\prime$，Q$^\prime$，R$^\prime$に移るとする．三角形P$^\prime$Q$^\prime$R$^\prime$の面積が三角形PQRの面積の$k$倍($k \geqq 1$)となる$c$の値を求めよ．
(2)楕円
\[ E:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \]
上の点が$T$によって楕円$E^\prime$上の点に移るとする．楕円$E^\prime$上のすべての点が楕円$E$の周上または外部にあるための，$c$の条件を求めよ．