「三角形」について
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国立 岡山大学 2012年 第1問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面における曲線$\displaystyle C: \frac{x^2}{4}+y^2=1$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle\left( 1,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．
(1)$C$の接線で直線$\mathrm{OP}$に平行なものをすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値と，最大値を与える$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めよ．
(1)$C$の接線で直線$\mathrm{OP}$に平行なものをすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値と，最大値を与える$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めよ．
国立 信州大学 2012年 第1問次の設問に答えよ．
(1)すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{n^2+6n+8}=\frac{A}{n+2}+\frac{B}{n+4}$を満たすような定数$A,\ B$の値を求めよ．また，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+6n+8}$の和を求めよ．
(2)面積が$\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}$の三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3,\ \mathrm{AC}=2$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{M}$が平面$\alpha$上にあるとき，$\mathrm{M}$の座標と球面の半径$r$を求めよ．
(1)すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{n^2+6n+8}=\frac{A}{n+2}+\frac{B}{n+4}$を満たすような定数$A,\ B$の値を求めよ．また，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+6n+8}$の和を求めよ．
(2)面積が$\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}$の三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3,\ \mathrm{AC}=2$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{M}$が平面$\alpha$上にあるとき，$\mathrm{M}$の座標と球面の半径$r$を求めよ．
国立 千葉大学 2012年 第2問$\mathrm{AB}=5,\ \mathrm{BC}=7,\ \mathrm{CA}=8$および$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=t$を満たす四面体$\mathrm{OABC}$がある．
(1)$\angle \mathrm{BAC}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$4$つの頂点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一球面上にあるとき，その球の半径が最小になるような実数$t$の値を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{BAC}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(3)$4$つの頂点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一球面上にあるとき，その球の半径が最小になるような実数$t$の値を求めよ．
国立 東京大学 2012年 第2問実数$t$は$0<t<1$を満たすとし，座標平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(t,\ 0)$を考える．また線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$を$\angle \mathrm{ACO}=\angle \mathrm{BCD}$となるように定める．$t$を動かしたときの三角形$\mathrm{ACD}$の面積の最大値を求めよ．
国立 静岡大学 2012年 第1問放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2) \ (a<0<b)$における接線の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{C}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{A}$を直角とする直角二等辺三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(1)点$\mathrm{C}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{A}$を直角とする直角二等辺三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
国立 静岡大学 2012年 第2問四面体ABCDがある．$\triangle$ABC，$\triangle$ABDの重心をそれぞれE，Fとおき，線分DEと線分CFの交点をGとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)線分DEと線分CFが交わる理由を述べよ．
(2)Oを空間内の定点とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(3)A$(0,\ 0,\ 4)$，B$(-1,\ 3,\ 0)$，C$(3,\ 0,\ 0)$，D$(-2,\ -3,\ 0)$のとき，$\angle \text{AGB}$，$\angle \text{BGC}$，$\angle \text{CGA}$の大小関係を不等号を用いて表せ．
(1)線分DEと線分CFが交わる理由を述べよ．
(2)Oを空間内の定点とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(3)A$(0,\ 0,\ 4)$，B$(-1,\ 3,\ 0)$，C$(3,\ 0,\ 0)$，D$(-2,\ -3,\ 0)$のとき，$\angle \text{AGB}$，$\angle \text{BGC}$，$\angle \text{CGA}$の大小関係を不等号を用いて表せ．
国立 静岡大学 2012年 第1問放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2) \ (a<0<b)$における接線の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{C}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$と放物線$y=x^2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{A}$を直角とする直角二等辺三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(1)点$\mathrm{C}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$と放物線$y=x^2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{A}$を直角とする直角二等辺三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
国立 静岡大学 2012年 第2問四面体ABCDがある．$\triangle$ABC，$\triangle$ABDの重心をそれぞれE，Fとおき，線分DEと線分CFの交点をGとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)線分DEと線分CFが交わる理由を述べよ．
(2)Oを空間内の定点とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(3)A$(0,\ 0,\ 4)$，B$(-1,\ 3,\ 0)$，C$(3,\ 0,\ 0)$，D$(-2,\ -3,\ 0)$のとき，$\angle \text{AGB},\ \angle \text{BGC},\ \angle \text{CGA}$の大小関係を不等号を用いて表せ．
(1)線分DEと線分CFが交わる理由を述べよ．
(2)Oを空間内の定点とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$を用いて表せ．
(3)A$(0,\ 0,\ 4)$，B$(-1,\ 3,\ 0)$，C$(3,\ 0,\ 0)$，D$(-2,\ -3,\ 0)$のとき，$\angle \text{AGB},\ \angle \text{BGC},\ \angle \text{CGA}$の大小関係を不等号を用いて表せ．
国立 静岡大学 2012年 第1問放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2) (a<0<b)$における接線の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{C}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が直角二等辺三角形となるような$a,\ b$の組をすべて求めよ．
(1)点$\mathrm{C}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が直角二等辺三角形となるような$a,\ b$の組をすべて求めよ．
国立 横浜国立大学 2012年 第5問鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$\alpha,\ \beta,\ \gamma$で表す．点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$はそれぞれ辺$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$上にあり，$\mathrm{DE} \perp \mathrm{AB},\ \mathrm{EF} \perp \mathrm{BC},\ \mathrm{FD} \perp \mathrm{CA}$を満たす．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$は相似であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}= \frac{1}{\tan \alpha}+\frac{1}{\tan \beta}+\frac{1}{\tan \gamma}$を示せ．
(3)$\alpha$が一定のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}$を最小にするような$\beta,\ \gamma$を$\alpha$で表せ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$は相似であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}= \frac{1}{\tan \alpha}+\frac{1}{\tan \beta}+\frac{1}{\tan \gamma}$を示せ．
(3)$\alpha$が一定のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}$を最小にするような$\beta,\ \gamma$を$\alpha$で表せ．