「三角形」について
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公立 福島県立医科大学 2013年 第2問一辺の長さが$8$である正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$があって，$\mathrm{AD}=\mathrm{OE}=\mathrm{OF}=5$を満たしている．$\triangle \mathrm{DEF}$の重心$\mathrm{G}$を通り$\triangle \mathrm{DEF}$を含む平面に垂直な直線が，$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面と交わる点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{DEFH}$の体積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{DEFH}$の体積を求めよ．
公立 尾道市立大学 2013年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において
\[ \frac{2 \sqrt{3}}{\sin A}=\frac{2 \sqrt{2}}{\sin B}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sin C} \]
が成り立っているとする．このとき，それぞれ次の問いに答えなさい．
(1)$\cos A$の値を求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{3}-2$であるとき，$a$の値を求めなさい．
(3)$C$の値を求めなさい．
\[ \frac{2 \sqrt{3}}{\sin A}=\frac{2 \sqrt{2}}{\sin B}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sin C} \]
が成り立っているとする．このとき，それぞれ次の問いに答えなさい．
(1)$\cos A$の値を求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{3}-2$であるとき，$a$の値を求めなさい．
(3)$C$の値を求めなさい．
国立 京都大学 2012年 第2問正四面体$\mathrm{OABC}$において，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上にとる．ただし$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は四面体$\mathrm{OABC}$の頂点とは異なるとする．$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形ならば，$3$辺$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RP}$はそれぞれ$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$に平行であることを証明せよ．
国立 京都大学 2012年 第4問次の命題(p)，(q)のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．
\mon[(p)] 正$n$角形の頂点から$3$点を選んで内角の$1$つが$60^\circ$である三角形を作ることができるならば，$n$は$3$の倍数である．
\mon[(q)] $\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{BC}=\mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$，$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{A}^\prime$ならば，これら$2$つの三角形は合同である．
\mon[(p)] 正$n$角形の頂点から$3$点を選んで内角の$1$つが$60^\circ$である三角形を作ることができるならば，$n$は$3$の倍数である．
\mon[(q)] $\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{BC}=\mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$，$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{A}^\prime$ならば，これら$2$つの三角形は合同である．
国立 京都大学 2012年 第2問正四面体$\mathrm{OABC}$において．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上にとる．ただし$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は四面体$\mathrm{OABC}$の頂点とは異なるとする．$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形ならば，3辺$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RP}$はそれぞれ3辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$に平行であることを証明せよ．
国立 京都大学 2012年 第5問次の命題(p)，(q)のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．
\mon[(p)] 正$n$角形の頂点から$3$点を選んで内角の$1$コが$60^\circ$である三角形を作ることができるならば，$n$は$3$の倍数である．
\mon[(q)] $\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{ABD}$において，$\mathrm{AC}<\mathrm{AD}$かつ$\mathrm{BC}<\mathrm{BD}$ならば．$\angle \mathrm{C} > \angle \mathrm{D}$である．
\mon[(p)] 正$n$角形の頂点から$3$点を選んで内角の$1$コが$60^\circ$である三角形を作ることができるならば，$n$は$3$の倍数である．
\mon[(q)] $\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{ABD}$において，$\mathrm{AC}<\mathrm{AD}$かつ$\mathrm{BC}<\mathrm{BD}$ならば．$\angle \mathrm{C} > \angle \mathrm{D}$である．
国立 北海道大学 2012年 第1問$m>0$，$n>0$，$0<x<1$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{AQ}$を$1:x$に外分する点を$\mathrm{S}$，線分$\mathrm{BP}$を$1:x$に外分する点を$\mathrm{T}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$m,\ n,\ x$で表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$が一直線上にあるとき，$x$を$m,\ n$で表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$m,\ n,\ x$で表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$が一直線上にあるとき，$x$を$m,\ n$で表せ．
国立 一橋大学 2012年 第1問$1$つの角が$120^\circ$の三角形がある．この三角形の$3$辺の長さ$x,\ y,\ z$は$x<y<z$を満たす整数である．
(1)$x+y-z=2$を満たす$x,\ y,\ z$の組をすべて求めよ．
(2)$x+y-z=3$を満たす$x,\ y,\ z$の組をすべて求めよ．
(3)$a,\ b$を$0$以上の整数とする．$x+y-z=2^a\,3^b$を満たす$x,\ y,\ z$の組の個数を$a$と$b$の式で表せ．
(1)$x+y-z=2$を満たす$x,\ y,\ z$の組をすべて求めよ．
(2)$x+y-z=3$を満たす$x,\ y,\ z$の組をすべて求めよ．
(3)$a,\ b$を$0$以上の整数とする．$x+y-z=2^a\,3^b$を満たす$x,\ y,\ z$の組の個数を$a$と$b$の式で表せ．
国立 岡山大学 2012年 第2問正$n$角形の頂点を$\mathrm{A}_0$，$\mathrm{A}_1$，$\cdots$，$\mathrm{A}_{n-1}$とする．頂点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_{n-1}$から$2$点をとり，それらと$\mathrm{A}_0$を頂点とする三角形を作る．このようにして得られる三角形の総数を$a_n$，そのうちの二等辺三角形の総数を$b_n$とする．ただし正三角形は二等辺三角形とみなす．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$a_6$および$b_6$を求めよ．
(2)整数$m \geqq 3$に対し，$S=\displaystyle\sum_{k=3}^m a_k$を求めよ．
(3)$b_9$を求めよ．
(1)$a_6$および$b_6$を求めよ．
(2)整数$m \geqq 3$に対し，$S=\displaystyle\sum_{k=3}^m a_k$を求めよ．
(3)$b_9$を求めよ．
国立 九州大学 2012年 第1問原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{C}(-2,\ 1,\ 3)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$は$\displaystyle\frac{\pi}{2}$より大きいことを示せ．
(2)点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAH}$の面積を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$は$\displaystyle\frac{\pi}{2}$より大きいことを示せ．
(2)点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAH}$の面積を求めよ．