$\overrightarrow{a}=(1,\ 0,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 1,\ 0)$とする．点$\mathrm{P}(1,\ 1,\ 0)$を通り，$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}(0,\ 0,\ 1)$を通り，$\overrightarrow{b}$に平行な直線を$\ell_2$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$\ell_1$上の点$\mathrm{R}$と$\ell_2$上の点$\mathrm{S}$を通る直線$\ell_3$が，$\ell_1$と$\ell_2$に垂直であるとする．このとき，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標を求めなさい．
(2)$\ell_1$上の$2$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が$\mathrm{EF}=2$を満たしながら動き，$\ell_2$上を点$\mathrm{G}$が動くとき，$\triangle \mathrm{EFG}$の面積の最小値を求めなさい．

$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=5$である三角形$\mathrm{OAB}$に対し，$k=\mathrm{AB}$，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を$k$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$k$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$k$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)(3)の$\mathrm{I}$と直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{H}$に対して，$\mathrm{IH} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{IH}}$を$k$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

曲線$y=\sin x$上の点$\mathrm{P}(\theta,\ \sin \theta)$における曲線の接線$\ell_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{K}$とする．また，点$\mathrm{P}$から$x$軸へ下した垂線$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．

(1)接線$\ell_1$を$y=Ax+B$とおくとき，$A$と$B$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{PKH}$の面積$S$を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)$S=1$となる$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．また，曲線$y=\sin x$と二つの線分$\mathrm{OH}$，$\mathrm{PH}$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$S:T=3:2$となる$\theta$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$2,\ 4,\ 3$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と線分$\mathrm{OM}$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，以下の空欄をうめよ．

(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[イ]$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OM}}=[ロ] \overrightarrow{a}+[ハ] \overrightarrow{b} \]
である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=[ニ] \overrightarrow{a}+[ホ] \overrightarrow{b} \]
である．

$3$次関数$f(x)=x^3+3x^2-9x$について，以下の各問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，$f(x)$が極大となる点を$\mathrm{A}$，極小となる点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を両端とする線分の中点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフ上に点$\mathrm{D}$をとる．ただし，$\mathrm{D}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より大きいものとする．いま，三角形$\mathrm{BCD}$の面積が$480$であるとき，$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$を結ぶ直線の式を求めよ．

$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(-b,\ a)$，$\mathrm{C}(a^2-b^2,\ 4ab)$を考える．ただし，$a,\ b$はそれぞれ$a>0$，$b>0$，$a+b=1$を満たす任意の実数である．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$が条件を満たしながら動くとき，点$\mathrm{C}$が描く図形を図で示せ．
(2)$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とおくとき，$\theta$を最小にする$a$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を最大にする$a$の値を求めよ．

$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が，それぞれ$(4,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 3,\ 0)$，$(0,\ 0,\ 8)$のとき，次の問いに答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$および原点によって囲まれた三角すい$\mathrm{OABC}$を図示し，体積を計算しなさい．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を計算しなさい．

原点を$\mathrm{O}$とする$xyz$空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OPQR}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通り$z$軸に平行な$3$直線と$xy$平面との交点をそれぞれ$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{PQR}$，$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積をそれぞれ$S$，$S_1$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の$3$点を通る平面と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$S_1=S |\cos \theta|$を示せ．
(2)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の周上を含む内部にあるとき，$z$軸と$\triangle \mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{A}$とする．このとき正四面体$\mathrm{OPQR}$の体積$V$は$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{OA} \cdot S_1$となることを示し，$S_1$の最小値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の外部にあり，線分$\mathrm{OP}^\prime$と線分$\mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が交点$\mathrm{B}$をもつとき，点$\mathrm{B}$を通り$z$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$および直線$\mathrm{QR}$との交点をそれぞれ$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．このとき四角形$\mathrm{OQ}^\prime \mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積を$S_2$とすると$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{CD} \cdot S_2$となることを示し，$S_2$の最大値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さは，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=8$である．次の問いに答えよ．

(1)$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の面積を求めよ．ただし，円周率は$\pi$とする．
(3)$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

次の$(1)$から$(6)$の$[　]$に適する答えを書きなさい．

(1)$\overrightarrow{a}=(4,\ 3)$に垂直な単位ベクトルは$2$つあり，$[　]$と$[　]$である．
(2)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から$4$つの数字を選んで$4$桁の整数をつくるとき，その個数は全部で$[　]$個である．ただし，各数字は$1$回しか使えないこととする．
(3)$2x^2-5xy-3y^2+3x+5y-2$を因数分解すると$[　]$となる．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，$\angle \mathrm{BAC}=50^\circ$，$\angle \mathrm{ICA}=25^\circ$のとき，$\angle \mathrm{BIC}$は$[　]^\circ$となる．
(5)$1^2,\ 3^2,\ 5^2,\ 7^2,\ \cdots$の第$n$項までの和は$[　]$である．
(6)$\sin 75^\circ$，$\sin 22.5^\circ$を計算すると，それぞれ$[　]$，$[　]$となる．