円$(x-3)^2+(y-3)^2=9$と，直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$の$2$つの交点と円上の任意の点によりできる三角形の重心の軌跡を求めなさい．

以下の問いに答えなさい．

(1)図のように半径$R (>0)$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$において三辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を半径$R$を用いて$\displaystyle S=\frac{G}{R}$のように表したとき，$G$を各辺の長さ$a,\ b,\ c$を用いて表わしなさい．

\begin{zahyou*}[ul=2mm](-12,12)(-12,12)%
\tenretu*{O(0,0);A(5,8.6);B(-8.6,-5);C(9.5,-3)e;D(20,5)s}%
{\thicklines
\En\O{10}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
}
\tenretu*{D(5,9.3);E(-11,-6);F(10.5,-4);G(0,-5.6);H(5.8,1);I(-3.1,2.7)}%
\emathPut\D{$\mathrm{A}$}
\emathPut\E{$\mathrm{B}$}
\emathPut\F{$\mathrm{C}$}
\emathPut\G{$a$}
\emathPut\H{$b$}
\emathPut\I{$c$}
\end{zahyou*}

(2)図のように一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$の各頂点から$x$だけ離れた各辺上に点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$がある．このとき次の設問に答えなさい．ただし，$0 \leqq x \leqq 1$とする．

\begin{zahyou*}[ul=2mm](-12,12)(-14,15)%
\tenretu*{O(0,0);A(-10,10);B(-10,-10);C(10,-10);D(10,10);P(-10,6);Q(-6,-10);R(10,-6);S(6,10)}%
{\thicklines
\Drawline{\A\B\C\D\A}%
\Drawline{\P\Q\R\S\P}%
}
\HenKo<henkoH=2mm>\A\P{}
\HenKo<henkoH=2mm>\B\Q{}
\HenKo<henkoH=2mm>\C\R{}
\HenKo<henkoH=2mm>\D\S{}
\tenretu*{A(-11,11);B(-12.5,-10);C(10,-12);D(11,10);P(-12,4.5);Q(-6,-12);R(11,-6);S(5,11)}%
\emathPut\A{$\mathrm{A}$}
\emathPut\B{$\mathrm{B}$}
\emathPut\C{$\mathrm{C}$}
\emathPut\D{$\mathrm{D}$}
\emathPut\P{$\mathrm{P}$}
\emathPut\Q{$\mathrm{Q}$}
\emathPut\R{$\mathrm{R}$}
\emathPut\S{$\mathrm{S}$}
\tenretu*{X(-12.8,7.7);Y(-8.8,-12.7);Z(11.5,-8.7);W(7.5,11.5)}%
\emathPut\X{$x$}
\emathPut\Y{$x$}
\emathPut\Z{$x$}
\emathPut\W{$x$}
\end{zahyou*}


(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$の面積$W$を求めなさい．
(ii) $W$が最小となるときの$x$の値を求めなさい．また，そのときの$W$の値も求めなさい．

$t$を$1 \leqq t \leqq 6$を満たす実数とする．原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とする座標平面上に，点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(3,\ 0)$，$\mathrm{C}(3,\ 12)$，$\mathrm{D}(1,\ 12)$，$\mathrm{P}(7,\ 0)$，$\mathrm{Q}(t,\ 7t-t^2)$をとる．長方形$\mathrm{ABCD}$と$\triangle \mathrm{OPQ}$の共通部分の面積を$f(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(t)$を求めよ．
(2)$3$個のさいころを同時に投げて，出た目の合計を$m$とする．このとき，
\[ f \left( \frac{m}{3} \right)<3m \]
となる確率を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$がある．点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$は$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$と異なっており，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．直線$\mathrm{AG}$上に点$\mathrm{P}$があるとき，$x,\ y,\ z$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上にあって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である．このとき$x,\ y,\ z$の値を求めよ．

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を始点とし第$1$象限の点$\mathrm{A}$を通る半直線$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．点$\mathrm{B}$は$x$軸上にあり，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$とする．原点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}$であることを示し，$t$を$a,\ b,\ \theta$で表せ．
(2)$\theta$を固定し$b=1$とする．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上に存在するような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)において，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．
(4)(2)において，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とする．面積が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$は直角三角形であることを示せ．

三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$であるとする．線分$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，直線$\mathrm{OQ}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OAR}$の面積を求めよ．

四面体の$4$つの頂点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$とし，空間のある点$\mathrm{P}$に関するそれぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$，$\overrightarrow{a_4}$とする．いま$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$を順に$\mathrm{T}_1$，$\mathrm{T}_2$，$\mathrm{T}_3$，$\mathrm{T}_4$で表しその重心をそれぞれ$\mathrm{G}_1$，$\mathrm{G}_2$，$\mathrm{G}_3$，$\mathrm{G}_4$とする．

(1)点$\mathrm{H}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PH}}=\frac{\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+\overrightarrow{a_4}}{4}$を満たす点とすると，$4$つの直線$\mathrm{A}_i \mathrm{G}_i (i=1,\ 2,\ 3,\ 4)$は$\mathrm{H}$で交わることを示せ．
(2)「直線$\mathrm{A}_i \mathrm{H}$は$\mathrm{T}_i$を含む平面に直交する（$i=1,\ 2,\ 3,\ 4$）」という条件が成り立つと仮定する．このとき$\mathrm{P}$として$\mathrm{H}$を選べば，$\overrightarrow{a_j}$と$\overrightarrow{a_k}$の内積$\overrightarrow{a_j} \cdot \overrightarrow{a_k} (j,\ k=1,\ 2,\ 3,\ 4)$の値は$j \neq k$を満たすどの$j,\ k$に対しても同じであることを示せ．
(3)(2)の条件が成り立てば，四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$は正四面体であることを示せ．

$a$を正の定数とする．曲線$y=|e^{-ax|\sin ax} (x \geqq 0)$において，極大となる点を$x$座標の小さい方から順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$を通り，$y$軸に平行な直線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_n$とする．$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$および原点を頂点とする三角形の面積を$S_n$とする．

(1)$\mathrm{P}_n$の座標を$a,\ n$を用いて表せ．
(2)$S_n$を$a,\ n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{S_{n+1}}$の値を求めよ．

$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=5$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{5}{2}$である三角形$\mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

平面上に三角形$\mathrm{OAB}$があり，$\mathrm{OA}=3$，$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{AOB}=30^\circ$であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{N}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．