「三角形」について
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私立 広島国際学院大学 2013年 第2問$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=1:1:\sqrt{3}$の$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．
(1)$\angle \mathrm{A}$を求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$であるとき，辺$\mathrm{CA}$の長さを求めなさい．
(1)$\angle \mathrm{A}$を求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$であるとき，辺$\mathrm{CA}$の長さを求めなさい．
私立 北星学園大学 2013年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{A}=60^\circ$である．以下の問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABD}$の面積を求めよ．
私立 北星学園大学 2013年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{AC}=2x+1$とする．以下の問に答えよ．
(1)$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}=60^\circ$のとき，$x$の値を求めよ．
(1)$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}=60^\circ$のとき，$x$の値を求めよ．
私立 千葉工業大学 2013年 第3問次の各問に答えよ．
(1)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{3a_n}{2n \cdot a_n+3} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，$b_1=[ア]$，$\displaystyle b_{n+1}-b_n=\frac{[イ]}{[ウ]}n$が成り立つ．$\displaystyle a_{10}=\frac{[エ]}{[オカ]}$であり，$\displaystyle a_n<\frac{1}{50}$をみたす最小の$n$は$[キク]$である．
(2)平行四辺形$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{CD}$を$3:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．直線$\mathrm{OE}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，三角形$\mathrm{CEF}$の面積は平行四辺形$\mathrm{OABC}$の面積の$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツテ]}$倍である．
(1)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{3a_n}{2n \cdot a_n+3} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，$b_1=[ア]$，$\displaystyle b_{n+1}-b_n=\frac{[イ]}{[ウ]}n$が成り立つ．$\displaystyle a_{10}=\frac{[エ]}{[オカ]}$であり，$\displaystyle a_n<\frac{1}{50}$をみたす最小の$n$は$[キク]$である．
(2)平行四辺形$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{CD}$を$3:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．直線$\mathrm{OE}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，三角形$\mathrm{CEF}$の面積は平行四辺形$\mathrm{OABC}$の面積の$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツテ]}$倍である．
私立 東京電機大学 2013年 第2問$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2$である四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$から$\mathrm{OC}$に下ろした垂線と$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\mathrm{OG}$と$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ．
私立 東京電機大学 2013年 第3問$t$を正の実数とする．座標平面上で点$\mathrm{A}(1,\ 1)$を中心とし点$\mathrm{B}(1,\ 0)$を通る円と，直線$y=tx$との$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とするとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$と直線$y=tx$との距離を$t$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．
(4)$(3)$の面積$S$が最大になるときの$t$の値を求めよ．
(1)点$\mathrm{A}$と直線$y=tx$との距離を$t$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．
(4)$(3)$の面積$S$が最大になるときの$t$の値を求めよ．
私立 東京電機大学 2013年 第5問$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2$である四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$から$\mathrm{OC}$に下ろした垂線と$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\mathrm{OG}$と$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ．
私立 北里大学 2013年 第3問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，辺$\mathrm{AO}$の点$\mathrm{O}$を越える延長上に$3 \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\overrightarrow{\mathrm{AH}}$となるように点$\mathrm{H}$をとり，直線$\mathrm{HF}$と平面$\mathrm{DEG}$の交点を$\mathrm{L}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DG}}$の内積は$[コ]$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{HF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{HF}}=[サ] \overrightarrow{a}+[シ] \overrightarrow{b}$と表される．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{LF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{LF}}=[ス] \overrightarrow{a}+[セ] \overrightarrow{b}$と表される．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DG}}$の内積は$[コ]$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{HF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{HF}}=[サ] \overrightarrow{a}+[シ] \overrightarrow{b}$と表される．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{LF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{LF}}=[ス] \overrightarrow{a}+[セ] \overrightarrow{b}$と表される．
私立 北里大学 2013年 第2問$2$辺の長さが$2$と$3$で，$1$つの角の大きさが${60}^\circ$であるような三角形がある．この三角形の残りの$1$辺の長さを求めよ．
私立 北里大学 2013年 第2問$f(x)=x^3-x^2+12$とおく．原点を通り，曲線$y=f(x)$に接する直線を$\ell$とする．
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との接点以外の共有点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との共有点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$，$\mathrm{Q}(b,\ f(b)) (a<b)$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{R}(c,\ f(c))$が$a<c<b$を満たしながら動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積が最大となるような$c$の値を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との接点以外の共有点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との共有点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$，$\mathrm{Q}(b,\ f(b)) (a<b)$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{R}(c,\ f(c))$が$a<c<b$を満たしながら動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積が最大となるような$c$の値を求めよ．