座標平面上に，$2$つの円$C_1:x^2+y^2=1$，$C_2:(x-2)^2+(y-1)^2=4$があり，$C_1$と$C_2$の共通接線を$n_1,\ n_2$（ただし$n_1$の傾きより$n_2$の傾きの方が大きい）とする．また，$C_1$と$C_2$の中心を結ぶ直線を$\ell$とし，$C_1$と$C_2$の$2$つの交点を結ぶ直線を$m$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式，および$\ell$と$n_1$の交点の座標を求めよ．
(2)直線$n_1$と直線$\ell$とのなす角を$\displaystyle \alpha \left( \text{ただし} 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とし，$\tan \alpha$および$\tan 2\alpha$の値を求めよ．
(3)直線$n_2$の方程式を求めよ．
(4)直線$m$の方程式を求めよ．
(5)$3$つの直線$n_1,\ n_2,\ m$で囲まれた三角形の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BO}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{OP}$の交わる点を$\mathrm{S}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BR}$の交わる点を$\mathrm{T}$とし，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{OP}$の交わる点を$\mathrm{U}$とするとき，$\triangle \mathrm{STU}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の比の値$\displaystyle \frac{\triangle \mathrm{STU}}{\triangle \mathrm{OAB}}$を求めよ．

空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とし，原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．

(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表し，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle \sin (\theta+\frac{2}{3}\pi)+\cos (\theta+\frac{1}{6}\pi)$を$r \sin (\theta+\alpha)$と表せば，$r=[ア]$，$\alpha=[イ]$である．ただし，$0 \leqq \alpha<2\pi$とする．
(2)$a>0$とするとき，$3$辺の長さが$a,\ a^2,\ a^3$となる三角形が存在するのは，$[ウ]<a<[エ]$のときである．

$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$があり，その辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{AC}=5$とする．そして，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$をとる（ただし，点$\mathrm{D}$は点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$と一致しない）．また，$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円の半径を$r_1$，$\triangle \mathrm{ACD}$の外接円の半径を$r_2$とする．次の問に答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{AD}=\mathrm{AC}$の場合，線分$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{AD}=t$として，$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}$の値は$t$の値によらず一定であることを示し，その値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{BD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[　]$である．また，直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，比$\mathrm{BF}:\mathrm{FC}$を求めると$[　]$である．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AC}=2 \sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=3+\sqrt{3}$である．$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$に垂線を下ろし，垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AH}=\sqrt{[サ]},\quad \angle \mathrm{BAC}=[シスセ]^\circ \]
である．さらに，点$\mathrm{A}$が三角形$\mathrm{DBC}$の内接円の中心となるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，
\[ \mathrm{AD}^2=[ソタ]+[チツ] \sqrt{[テ]} \]
である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}:\mathrm{BC}=3:2$，$\angle \mathrm{ABC}=120^\circ$であるとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

$1$辺の長さが$a$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)線分$\mathrm{AP}$，線分$\mathrm{AQ}$，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{PAQ}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{PAQ}$の面積を求めよ．