「三角形」について
タグ「三角形」の検索結果
（83ページ目：全1576問中821問～830問を表示）
国立 鹿児島大学 2013年 第3問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ．このことを証明せよ．
(ii) すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ．このことを証明せよ．
(ii) すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．
国立 鹿児島大学 2013年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ．このことを証明せよ．
(ii) すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ．このことを証明せよ．
(ii) すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．
私立 自治医科大学 2013年 第5問三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ，$A$，$B$，$C$とし，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ，$2$，$3$，$4$とする．$\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{\tan A}$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2013年 第14問$3$点$\mathrm{A}(1,\ 4)$，$\mathrm{B}(-2,\ 1)$，$\mathrm{C}(4,\ 2)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の外心の座標を$(p,\ q)$としたとき，$10(p-q)$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2013年 第20問放物線$y=x^2-6x+5$と直線$y=k (-4<k<0)$（$k$は実数）との$2$つの異なる交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}(3,\ 0)$で作られる三角形$\mathrm{ABC}$の面積の最大値を$M$とするとき，$\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{4}M$の値を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2013年 第6問$\triangle \mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$の二等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{BDC}=120^\circ$とする．
(1)辺$\mathrm{BD}$，$\mathrm{BC}$のそれぞれの長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(1)辺$\mathrm{BD}$，$\mathrm{BC}$のそれぞれの長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$x$の$2$次方程式$2x^2+4(k+2)x+(7k+9)=0$が実数解をもつとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$であるとき，この三角形の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(1)$x$の$2$次方程式$2x^2+4(k+2)x+(7k+9)=0$が実数解をもつとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$であるとき，この三角形の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第3問$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\sqrt{10}$である三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．この円の半径は$2$である．この円の，点$\mathrm{A}$を含まない弧$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$をとり，直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{OC}$の共有点を$\mathrm{E}$とする．線分$\mathrm{DB}$と線分$\mathrm{DC}$の長さが$\mathrm{DB}:\mathrm{DC}=3:2$を満たすとき，次の線分の長さを求めよ．
$(1) \quad \mathrm{DC} \qquad (2) \quad \mathrm{AD} \qquad (3) \quad \mathrm{CE}$
$(1) \quad \mathrm{DC} \qquad (2) \quad \mathrm{AD} \qquad (3) \quad \mathrm{CE}$
私立 北海学園大学 2013年 第4問直線$\ell:y=2x+m$は，点$\mathrm{A}(4,\ 2)$を中心とする円$C$に点$\mathrm{P}$で接し，$y$軸と点$\mathrm{Q}$で交わっている．直線$\mathrm{AP}$と円$C$との交点のうち，$\mathrm{P}$とは異なる点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$-4<m<4$とする．
(1)円$C$の半径$r$を$m$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の座標を$m$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．
(1)円$C$の半径$r$を$m$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の座標を$m$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第4問座標平面上に$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \para \overrightarrow{\mathrm{DC}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{AD}} \para \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たすような異なる$4$点$\mathrm{A}(2,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$，$\mathrm{C}(4,\ 4)$，$\mathrm{D}(x,\ y)$がある．
(1)$x$と$y$の値をそれぞれ求めよ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の重心を$\mathrm{G}$，三角形$\mathrm{CBD}$の重心を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{G}$と$\mathrm{H}$の座標をそれぞれ求めよ．また，三角形$\mathrm{BGH}$の面積を求めよ．
(1)$x$と$y$の値をそれぞれ求めよ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の重心を$\mathrm{G}$，三角形$\mathrm{CBD}$の重心を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{G}$と$\mathrm{H}$の座標をそれぞれ求めよ．また，三角形$\mathrm{BGH}$の面積を求めよ．