「三角形」について
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国立 福井大学 2013年 第2問$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$かつ$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$をみたす四面体$\mathrm{OABC}$がある．その体積を$V$，$\mathrm{AB}=m$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$と表すとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を$m$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とおくとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CG}}$の値を求めよ．
(3)$V$を$m$を用いて表せ．
(4)$V$が最大となる$m$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を$m$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とおくとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CG}}$の値を求めよ．
(3)$V$を$m$を用いて表せ．
(4)$V$が最大となる$m$の値を求めよ．
国立 岐阜大学 2013年 第1問$a,\ b$を正の実数とする．$xy$平面上の放物線$y=x^2-2ax$と直線$y=bx$は原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の異なる$2$点で交わる．また，放物線の頂点を$\mathrm{B}$とし，三角形$\mathrm{OAB}$を考える．以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$が直角三角形のとき，$a$と$b$の満たすべき条件を求めよ．
(3)$a=b$のとき，$\cos \angle \mathrm{AOB}$を$a$を用いて表せ．
(4)$a=b$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$a$を用いて表せ．
(1)点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$が直角三角形のとき，$a$と$b$の満たすべき条件を求めよ．
(3)$a=b$のとき，$\cos \angle \mathrm{AOB}$を$a$を用いて表せ．
(4)$a=b$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$a$を用いて表せ．
国立 愛媛大学 2013年 第4問原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，次の条件$①,\ ②,\ ③,\ ④$を満たすとする．
$①$ $\mathrm{A}$は$xy$平面上の点で$\mathrm{OA}=1$
$②$ $\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は$yz$平面上の点で，$y$軸に関して対称である
$③$ $\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形である
$④$ $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は$y$軸上にない
(1)$\mathrm{B}$の$y$座標を$t$とするとき，$t$がとり得る値の範囲を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の表面積の最大値を求めよ．
(3)表面積が最大となる四面体$\mathrm{OABC}$を$x$軸，$y$軸，$z$軸の周りに回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_x$，$V_y$，$V_z$とするとき，$V_x$，$V_y$，$V_z$を求めよ．
$①$ $\mathrm{A}$は$xy$平面上の点で$\mathrm{OA}=1$
$②$ $\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は$yz$平面上の点で，$y$軸に関して対称である
$③$ $\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形である
$④$ $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は$y$軸上にない
(1)$\mathrm{B}$の$y$座標を$t$とするとき，$t$がとり得る値の範囲を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の表面積の最大値を求めよ．
(3)表面積が最大となる四面体$\mathrm{OABC}$を$x$軸，$y$軸，$z$軸の周りに回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_x$，$V_y$，$V_z$とするとき，$V_x$，$V_y$，$V_z$を求めよ．
国立 宮崎大学 2013年 第5問右図のような四角形$\mathrm{ABCD}$について，すべての内角の大きさは$180^\circ$ \\
未満とする．$\triangle \mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{P}$，$\triangle \mathrm{CDA}$の重心を$\mathrm{Q}$，$\triangle \mathrm{DAB}$の重 \\
心を$\mathrm{R}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{S}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$ \\
上になく，点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{BD}$上にないものとする．このとき， \\
次の各問に答えよ．
\img{735_3039_2013_1}{37}
(1)$\mathrm{AC} \para \mathrm{RP}$を示せ．
(2)$\mathrm{AB} \para \mathrm{QP}$を示せ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は同一円周上にあることを示せ．
未満とする．$\triangle \mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{P}$，$\triangle \mathrm{CDA}$の重心を$\mathrm{Q}$，$\triangle \mathrm{DAB}$の重 \\
心を$\mathrm{R}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{S}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$ \\
上になく，点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{BD}$上にないものとする．このとき， \\
次の各問に答えよ．
\img{735_3039_2013_1}{37}
(1)$\mathrm{AC} \para \mathrm{RP}$を示せ．
(2)$\mathrm{AB} \para \mathrm{QP}$を示せ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は同一円周上にあることを示せ．
国立 京都教育大学 2013年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$において頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に向かい合う辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A,\ B,\ C$で表すものとする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とし，$\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}$とおくと
\[ S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]
が成立することを余弦定理と公式
\[ S=\frac{1}{2}bc \sin A \]
を用いて証明せよ．
\[ S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]
が成立することを余弦定理と公式
\[ S=\frac{1}{2}bc \sin A \]
を用いて証明せよ．
国立 島根大学 2013年 第4問空間における$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ -1)$，$\mathrm{B}(3,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 3,\ 0)$を通る平面を$\alpha$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$は直角二等辺三角形であることを示せ．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$に外接する球の中心の座標を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$は直角二等辺三角形であることを示せ．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$に外接する球の中心の座標を求めよ．
国立 島根大学 2013年 第2問数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，$\displaystyle a_1=1,\ b_1=0,\ a_{n+1}=\frac{1}{4}a_n-\frac{\sqrt{3}}{4}b_n,\ b_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}a_n+\frac{1}{4}b_n$によって定め，座標が$(a_n,\ b_n)$である点を$\mathrm{C}_n$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3)$S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3)$S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．
国立 大分大学 2013年 第3問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=t$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に垂線$\mathrm{AP}$を下ろし，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線$\mathrm{BQ}$を下ろし，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
(1)$t$の範囲を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t$と$\overrightarrow{b}$で，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$と$\overrightarrow{a}$で表しなさい．
(3)$t=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表し，$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}|$を求めなさい．
(1)$t$の範囲を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t$と$\overrightarrow{b}$で，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$と$\overrightarrow{a}$で表しなさい．
(3)$t=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表し，$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}|$を求めなさい．
国立 大分大学 2013年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=t$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に垂線$\mathrm{AP}$を下ろし，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線$\mathrm{BQ}$を下ろし，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
(1)$t$の範囲を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t$と$\overrightarrow{b}$で，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$と$\overrightarrow{a}$で表しなさい．
(3)$t=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表し，$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}|$を求めなさい．
(1)$t$の範囲を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t$と$\overrightarrow{b}$で，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$と$\overrightarrow{a}$で表しなさい．
(3)$t=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表し，$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}|$を求めなさい．
国立 三重大学 2013年 第2問$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{6}$となる実数とし，平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{Q}(\cos 3\theta,\ -\sin 3\theta)$をとる．さらに線分$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)加法定理を用いて$\cos 3\theta$を$\cos \theta$だけで表す式を導け．同様に$\sin 3\theta$を$\sin \theta$だけで表す式を導け．
(2)$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=5:11$のとき，$\sin \theta,\ \cos \theta$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件下で$\triangle \mathrm{POR}$の面積を求めよ．
(1)加法定理を用いて$\cos 3\theta$を$\cos \theta$だけで表す式を導け．同様に$\sin 3\theta$を$\sin \theta$だけで表す式を導け．
(2)$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=5:11$のとき，$\sin \theta,\ \cos \theta$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件下で$\triangle \mathrm{POR}$の面積を求めよ．