「三角形」について
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国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問空間に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(b,\ c,\ 0)$，$\mathrm{C}(d,\ e,\ 4)$，$\mathrm{T}(d,\ e,\ t)$があり，このうちの$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が正四面体の頂点になっているとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$はいずれも正の実数で，$0<t<4$とする．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$の値を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{OTA}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{OTC}=\angle \mathrm{OTA}$となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\cos \angle \mathrm{OTA}$の値と三角形$\mathrm{OTA}$の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第3問$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく．$\ell$が$2$直線$x=-1$，$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
国立 琉球大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)整式$P(x)$は，$\displaystyle P \left( \frac{5}{3} \right)=\frac{8}{3}$と$\displaystyle P \left( -\frac{7}{2} \right)=-\frac{5}{2}$を満たす．$P(x)$を$6x^2+11x-35$で割った余りを求めよ．
(2)座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ s,\ t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，原点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{OG} \perp \mathrm{AG}$，$\mathrm{OG} \perp \mathrm{AB}$となるときの$s$と$t$の値を求めよ．
(3)変量$x$の値が$x_1,\ x_2,\ x_3$のとき，その平均値を$\overline{x}$とする．分散$s^2$を
\[ \frac{1}{3}\{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2 \} \]
で定義するとき，$s^2=\overline{x^2}-(\overline{x})^2$となることを示せ．ただし$\overline{x^2}$は${x_1}^2,\ {x_2}^2,\ {x_3}^2$の平均値を表す．
(1)整式$P(x)$は，$\displaystyle P \left( \frac{5}{3} \right)=\frac{8}{3}$と$\displaystyle P \left( -\frac{7}{2} \right)=-\frac{5}{2}$を満たす．$P(x)$を$6x^2+11x-35$で割った余りを求めよ．
(2)座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ s,\ t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，原点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{OG} \perp \mathrm{AG}$，$\mathrm{OG} \perp \mathrm{AB}$となるときの$s$と$t$の値を求めよ．
(3)変量$x$の値が$x_1,\ x_2,\ x_3$のとき，その平均値を$\overline{x}$とする．分散$s^2$を
\[ \frac{1}{3}\{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2 \} \]
で定義するとき，$s^2=\overline{x^2}-(\overline{x})^2$となることを示せ．ただし$\overline{x^2}$は${x_1}^2,\ {x_2}^2,\ {x_3}^2$の平均値を表す．
国立 鹿児島大学 2016年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
国立 鹿児島大学 2016年 第4問四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{OA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．また辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$として，辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．さらに三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面と線分$\mathrm{OG}$の交点を$\mathrm{K}$とする．線分$\mathrm{OK}$と$\mathrm{KG}$の長さの比を求めよ．
国立 鹿児島大学 2016年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
国立 鹿児島大学 2016年 第4問四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{OA}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．また辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$として，辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．さらに三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面と線分$\mathrm{OG}$の交点を$\mathrm{K}$とする．線分$\mathrm{OK}$と$\mathrm{KG}$の長さの比を求めよ．
国立 九州工業大学 2016年 第3問$a<0$，$b$を実数とする．楕円$C:x^2+4y^2=4$と直線$\ell:y=ax+b$が異なる$2$個の共有点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2) (x_1<x_2)$を持つとし，$\ell$に平行な直線$m$が第$1$象限の点$\mathrm{A}$において$C$と接しているとする．次に答えよ．
(1)$b$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(2)直線$m$の方程式を$a$を用いて表せ．
(3)$x_2-x_1$を$a,\ b$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{APQ}$の面積$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(5)$b$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$(4)$で求めた$S$の最大値を求めよ．
(1)$b$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(2)直線$m$の方程式を$a$を用いて表せ．
(3)$x_2-x_1$を$a,\ b$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{APQ}$の面積$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(5)$b$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$(4)$で求めた$S$の最大値を求めよ．
国立 九州工業大学 2016年 第4問点$\mathrm{A}(1,\ 0)$および点$\displaystyle \mathrm{P}(\sqrt{3} \cos \theta,\ \sqrt{3} \sin \theta) \left( 0<\theta<\frac{\pi}{4} \right)$がある．$x$軸に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とし，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$を通る直線を$\ell$，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．次に答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．
(1)$\sqrt{3} \cos \theta>1$を示せ．
(2)直線$\ell$の方程式と直線$m$の方程式を$\theta$を用いて表せ．
(3)直線$\ell$と直線$m$の交点$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{PAQ}$の面積を$S$とする．$\theta$が変化するとき，$S$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(5)$\theta$が$(4)$で求めた値をとるとき，$2$直線$\ell,\ m$および曲線$x^2+y^2=3 (x \geqq \sqrt{3} \cos \theta)$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)$\sqrt{3} \cos \theta>1$を示せ．
(2)直線$\ell$の方程式と直線$m$の方程式を$\theta$を用いて表せ．
(3)直線$\ell$と直線$m$の交点$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)三角形$\mathrm{PAQ}$の面積を$S$とする．$\theta$が変化するとき，$S$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(5)$\theta$が$(4)$で求めた値をとるとき，$2$直線$\ell,\ m$および曲線$x^2+y^2=3 (x \geqq \sqrt{3} \cos \theta)$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 長崎大学 2016年 第2問$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．下の図$1$のように，$2$辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上に，$\mathrm{BS}=\mathrm{CT}=x (0 \leqq x \leqq 2)$を満たす点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{EST}$の面積の最大値と最小値を求めたい．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．