「三角形」について
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国立 室蘭工業大学 2013年 第4問平面上の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$は互いに異なる点とする．三角形$\mathrm{OAB}$において
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3 \]
かつ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$60^\circ$とする．$\ell$は点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が法線ベクトルである直線，$m$は点$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が法線ベクトルである直線とする．また，$\ell$と$m$は点$\mathrm{P}$で交わるとする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$であることを用いて，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす実数$s,\ t$の値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3 \]
かつ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$60^\circ$とする．$\ell$は点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が法線ベクトルである直線，$m$は点$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が法線ベクトルである直線とする．また，$\ell$と$m$は点$\mathrm{P}$で交わるとする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$であることを用いて，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす実数$s,\ t$の値を求めよ．
国立 茨城大学 2013年 第3問平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$があり，その面積は$S$である．辺$\mathrm{AB}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を通る直線と辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{10}S$のとき$t$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{10}S$のとき$t$の値を求めよ．
国立 茨城大学 2013年 第3問平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$があり，その面積は$S$である．辺$\mathrm{AB}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を通る直線と辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．以下の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{10}S$のとき，$t$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{10}S$のとき，$t$の値を求めよ．
国立 茨城大学 2013年 第1問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上を運動する点$\mathrm{P}(x,\ y)$が
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
で表されるとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．（$C$は右図のように \\
なっている．）以下の各問に答えよ．
\img{85_2188_2013_1}{40}
(1)曲線$C$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき，(2)の接線$\ell$の傾きが負になる$t$の範囲を求めよ．
(4)$t$が(3)で求めた範囲にあるとき，$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OPR}$の面積をそれぞれ$S$と$T$とする．$c=\cos t$として，$S,\ T$をそれぞれ$c$を用いて表せ．
(5)(4)の$S$と$T$について$S=T$が成り立つとき，直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めよ．
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
で表されるとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．（$C$は右図のように \\
なっている．）以下の各問に答えよ．
\img{85_2188_2013_1}{40}
(1)曲線$C$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき，(2)の接線$\ell$の傾きが負になる$t$の範囲を求めよ．
(4)$t$が(3)で求めた範囲にあるとき，$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OPR}$の面積をそれぞれ$S$と$T$とする．$c=\cos t$として，$S,\ T$をそれぞれ$c$を用いて表せ．
(5)(4)の$S$と$T$について$S=T$が成り立つとき，直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めよ．
国立 宇都宮大学 2013年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，内部の点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$と$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)直線$\mathrm{AP}$が$\triangle \mathrm{PBC}$の外接円の中心を通るとする．その外接円の半径を$1$とし，$\angle \mathrm{BPC}=120^\circ$とするとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)(3)と同じ条件のもとで，$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$の内積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$と$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)直線$\mathrm{AP}$が$\triangle \mathrm{PBC}$の外接円の中心を通るとする．その外接円の半径を$1$とし，$\angle \mathrm{BPC}=120^\circ$とするとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)(3)と同じ条件のもとで，$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$の内積を求めよ．
国立 奈良教育大学 2013年 第5問三角形の$3$辺の垂直二等分線は$1$点で交わることを証明せよ．
国立 滋賀大学 2013年 第1問円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AD}=2 \mathrm{AB}$とする．また，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点$\mathrm{E}$が$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分するとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．
(2)$\mathrm{BC}:\mathrm{CD}$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAD}={120}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．
(2)$\mathrm{BC}:\mathrm{CD}$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BAD}={120}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
国立 滋賀大学 2013年 第4問$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$において辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，$\mathrm{B}_1 \mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_2$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$とする．次に，$\triangle \mathrm{O}_2 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$において辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{O}_2$，$\mathrm{O}_2 \mathrm{A}_2$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_3$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{B}_3$とする．これをくり返して，$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$において辺$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，$\mathrm{B}_n \mathrm{O}_n$，$\mathrm{O}_n \mathrm{A}_n$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_{n+1}$，$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$とする．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{O}_1 \mathrm{B}_1}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{6}$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{3}{2}$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{GO}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GA}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GB}}_1|$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$の重心が$\mathrm{G}$であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$が$\mathrm{G}$を中心とする半径$10^{-4}$の円の内部に含まれる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{GO}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GA}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GB}}_1|$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$の重心が$\mathrm{G}$であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$が$\mathrm{G}$を中心とする半径$10^{-4}$の円の内部に含まれる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
国立 鳥取大学 2013年 第1問平面上の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=75^\circ$，$4 \overrightarrow{\mathrm{OC}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$および$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OACB}$および三角形$\mathrm{OAC}$の面積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$および$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OACB}$および三角形$\mathrm{OAC}$の面積を求めよ．
国立 鳥取大学 2013年 第1問平面上の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=75^\circ$，$4 \overrightarrow{\mathrm{OC}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$および$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OACB}$および三角形$\mathrm{OAC}$の面積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$および$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OACB}$および三角形$\mathrm{OAC}$の面積を求めよ．