「三角形」について
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国立 信州大学 2013年 第4問放物線$y=(x-1)^2+q \ (q>0)$のグラフに，原点$\mathrm{O}$から引いた2本の接線が互いに垂直に交わっているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$q$の値を求めよ．
(2)2本の接線と放物線とで囲まれる図形の面積を$S_1$とする．また，2本の接線と放物線との接点を点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
(1)$q$の値を求めよ．
(2)2本の接線と放物線とで囲まれる図形の面積を$S_1$とする．また，2本の接線と放物線との接点を点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
国立 金沢大学 2013年 第1問正の実数$a,\ b,\ c$に対して，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に3点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$がある．$\mathrm{AC}=2,\ \mathrm{BC}=3$かつ$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2}$となるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\sin \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．また，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．また，原点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の長さを求めよ．
(1)$\sin \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．また，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．また，原点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の長さを求めよ．
国立 千葉大学 2013年 第3問$1$辺の長さが$3$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．また，辺$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，$\mathrm{CE}=t$とする．
(1)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{DAE}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{ADE}$の面積が最小になるときの$t$の値とそのときの面積を求めよ．
(1)$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{DAE}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{ADE}$の面積が最小になるときの$t$の値とそのときの面積を求めよ．
国立 東京大学 2013年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{BAC}=90^\circ$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=\sqrt{3}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が
\[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{PA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{PC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たすとする．
(1)$\angle \mathrm{APB}$，$\angle \mathrm{APC}$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|$を求めよ．
\[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{PA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|}+\frac{\overrightarrow{\mathrm{PC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たすとする．
(1)$\angle \mathrm{APB}$，$\angle \mathrm{APC}$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|$を求めよ．
国立 富山大学 2013年 第2問$\mathrm{AB}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=\theta \ \left( 0<\theta<\pi,\ \theta \neq \frac{\pi}{2} \right)$である$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．頂点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{AC}$またはその延長に垂線$\mathrm{BP}$を下ろし，点$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{PQ}$を下ろす．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\sin \theta=t$とするとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を$t$を用いて表せ．
(2)$\theta$を動かすとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積の最大値を求めよ．
(1)$\sin \theta=t$とするとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を$t$を用いて表せ．
(2)$\theta$を動かすとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積の最大値を求めよ．
国立 名古屋工業大学 2013年 第4問三角形$\mathrm{OAB}$がある．点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$を通り辺$\mathrm{AB}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=p$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．
(3)$p \geqq 0$であるとき$\displaystyle \frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{OA}}$の値の範囲を求めよ．
(4)点$\mathrm{N}$が線分$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分するとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．
(3)$p \geqq 0$であるとき$\displaystyle \frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{OA}}$の値の範囲を求めよ．
(4)点$\mathrm{N}$が線分$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分するとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．
国立 静岡大学 2013年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の長さを$1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=k$とする．このとき，辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$に関して，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ (0 \leqq s \leqq 1)$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ (0 \leqq s \leqq 1)$かつ$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$のとき，等式$9s^2-6ks+2k-1=0$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を満たす点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{OB}$上にただ$1$つ存在するような$k$の値の範囲を求めよ．ただし，点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{OB}$上に存在するとは，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{O}$または$\mathrm{B}$と一致する場合を含むものとする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ (0 \leqq s \leqq 1)$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ (0 \leqq s \leqq 1)$かつ$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$のとき，等式$9s^2-6ks+2k-1=0$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を満たす点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{OB}$上にただ$1$つ存在するような$k$の値の範囲を求めよ．ただし，点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{OB}$上に存在するとは，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{O}$または$\mathrm{B}$と一致する場合を含むものとする．
国立 豊橋技術科学大学 2013年 第2問図に示したように第$1$象限内に原点を頂点の一つとして有する \\
一辺の長さが$a$である正三角形$\mathrm{OAB}$がある．この図形に関す \\
る以下の問いに答えよ．ただし，線分$\mathrm{OA}$と$x$軸とのなす角を \\
$15^\circ$とする．また，三角関数を使用する場合，三角関数は数値 \\
化すること．
\img{410_1079_2013_1}{32}
(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)三角形の二つの頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(4)この三角形$\mathrm{OAB}$の内部にあり，三角形に内側で接する円の方程式を求めよ．また，この円の面積を求めよ．
一辺の長さが$a$である正三角形$\mathrm{OAB}$がある．この図形に関す \\
る以下の問いに答えよ．ただし，線分$\mathrm{OA}$と$x$軸とのなす角を \\
$15^\circ$とする．また，三角関数を使用する場合，三角関数は数値 \\
化すること．
\img{410_1079_2013_1}{32}
(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)三角形の二つの頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(4)この三角形$\mathrm{OAB}$の内部にあり，三角形に内側で接する円の方程式を求めよ．また，この円の面積を求めよ．
国立 愛知教育大学 2013年 第4問曲線$y=x^2$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2) \ (\alpha<0)$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．また，この接線$\ell$上の点$\mathrm{P}$から，曲線$C$に$\ell$とは異なる接線$m$をひく．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標は$p$とし，$p>\alpha$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)接線$m$の曲線$C$との接点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る直線が，直線$\ell$と垂直となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$を(2)で求めたものとする．このとき，点$\mathrm{P}$を通り，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$2$等分する直線の方程式を求めよ．
(1)接線$m$の曲線$C$との接点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る直線が，直線$\ell$と垂直となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$を(2)で求めたものとする．このとき，点$\mathrm{P}$を通り，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$2$等分する直線の方程式を求めよ．
国立 愛知教育大学 2013年 第5問同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{AB}$を$s:(1-s) \ (0<s<1)$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{OD}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAE}$と$\triangle \mathrm{OCE}$の面積が等しくなるような$s$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAE}$と$\triangle \mathrm{OCE}$の面積が等しくなるような$s$の値を求めよ．