「三角形」について
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公立 岐阜薬科大学 2014年 第3問図のような底面が正六角形で側面がすべて長方形である六角柱$\mathrm{ABCDEF}$-$\mathrm{GHIJKL}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AG}=3$であるとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{EG}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BEG}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{F}$から$\triangle \mathrm{BEG}$に下した垂線の長さを求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{EG}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BEG}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{F}$から$\triangle \mathrm{BEG}$に下した垂線の長さを求めよ．
公立 岩手県立大学 2014年 第4問以下の問いに答えなさい．
下図のように，外接円と内接円の中心が同一となる$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．この中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円は$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円にあたる．すなわち，$\triangle \mathrm{ABC}$の内心が$\triangle \mathrm{DEF}$の外心となっている．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$および$\triangle \mathrm{DEF}$がいずれも正三角形であることを示しなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$\mathrm{OA}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円の半径$\mathrm{OD}$との長さの比を求めなさい．
(3)ここで，改めて，$\triangle \mathrm{ABC}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_1$，$\triangle \mathrm{DEF}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_2$のように表し，一辺の長さが$a$である$(\triangle \mathrm{ABC})_1$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_2$を描き，この$(\triangle \mathrm{ABC})_2$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_3$を描くということを繰り返していく．このようにして，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$を描いたとき，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$の一辺の長さを$a$を用いて表しなさい．
下図のように，外接円と内接円の中心が同一となる$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．この中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円は$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円にあたる．すなわち，$\triangle \mathrm{ABC}$の内心が$\triangle \mathrm{DEF}$の外心となっている．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$および$\triangle \mathrm{DEF}$がいずれも正三角形であることを示しなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$\mathrm{OA}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円の半径$\mathrm{OD}$との長さの比を求めなさい．
(3)ここで，改めて，$\triangle \mathrm{ABC}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_1$，$\triangle \mathrm{DEF}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_2$のように表し，一辺の長さが$a$である$(\triangle \mathrm{ABC})_1$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_2$を描き，この$(\triangle \mathrm{ABC})_2$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_3$を描くということを繰り返していく．このようにして，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$を描いたとき，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$の一辺の長さを$a$を用いて表しなさい．
公立 富山県立大学 2014年 第4問$\alpha$は実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．
(1)$A=r \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \theta$の値を求めよ．ただし，$r>0$，$0<\theta<\pi$とする．
(2)$B^n=\left( \begin{array}{cc}
\cos n\alpha & -\sin n\alpha \\
\sin n\alpha & \cos n\alpha
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$A_n=r_n \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta_n & -\sin \theta_n \\
\sin \theta_n & \cos \theta_n
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$(A_n)^n=A$により定める．ただし，$r_n>0$，$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{n}$とする．このとき，$r_n$，$\theta_n$を$n$の式で表せ．
(4)$(3)$で定めた$A_n$を用いて行列$T_n$を$T_n=nA_n$により定める．点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，$T_n$の表す$1$次変換によって点$(1,\ 0)$が移される点を$\mathrm{P}_n$とするとき，$\triangle \mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積$S_n$を$n$の式で表せ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．
(1)$A=r \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \theta$の値を求めよ．ただし，$r>0$，$0<\theta<\pi$とする．
(2)$B^n=\left( \begin{array}{cc}
\cos n\alpha & -\sin n\alpha \\
\sin n\alpha & \cos n\alpha
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$A_n=r_n \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta_n & -\sin \theta_n \\
\sin \theta_n & \cos \theta_n
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$(A_n)^n=A$により定める．ただし，$r_n>0$，$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{n}$とする．このとき，$r_n$，$\theta_n$を$n$の式で表せ．
(4)$(3)$で定めた$A_n$を用いて行列$T_n$を$T_n=nA_n$により定める．点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，$T_n$の表す$1$次変換によって点$(1,\ 0)$が移される点を$\mathrm{P}_n$とするとき，$\triangle \mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積$S_n$を$n$の式で表せ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
公立 広島市立大学 2014年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$は，$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}$，$\mathrm{OB}=\mathrm{AC}$，$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}$を満たしているとし，$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$，$\mathrm{OC}=c$とおく．三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{OAC}$の重心をそれぞれ$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{OG} \perp \mathrm{BH}$であるとき，$a^2+c^2=3b^2$が成り立つことを示せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{OG} \perp \mathrm{BH}$であるとき，$a^2+c^2=3b^2$が成り立つことを示せ．
公立 秋田県立大学 2014年 第4問平面上に三つの異なる定点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，同じ平面上に動点$\mathrm{P}$があり，$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{\pi}{2}$を満たす．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{m}$とする．以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$，$(3)$は解答とともに導出過程も記述せよ．
(1)$\overrightarrow{m}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{14}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-6$が成り立つ．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$のなす角を$\alpha$，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$のなす角を$\beta$とする．ただし，$0 \leqq \alpha \leqq \pi$，$0 \leqq \beta \leqq \pi$とする．以下の設問$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$に答えよ．
(i) $\cos \alpha$の値を求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積が最大となるときの$\beta$の値を求めよ．
(iii) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積の最大値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{m}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{14}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-6$が成り立つ．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$のなす角を$\alpha$，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$のなす角を$\beta$とする．ただし，$0 \leqq \alpha \leqq \pi$，$0 \leqq \beta \leqq \pi$とする．以下の設問$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$に答えよ．
(i) $\cos \alpha$の値を求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積が最大となるときの$\beta$の値を求めよ．
(iii) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積の最大値を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2014年 第15問$\triangle \mathrm{ABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$である点$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の外心であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$r$であるとする．このとき，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
公立 名古屋市立大学 2014年 第2問空間に四面体$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，
\[ \begin{array}{l}
4 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+6 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
4 \overrightarrow{\mathrm{QA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{QB}}+6 \overrightarrow{\mathrm{QC}}+7 \overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}
\end{array} \]
を満たす．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PAB}$と三角形$\mathrm{PBC}$の面積比を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{QABC}$と四面体$\mathrm{QBCD}$の体積比を求めよ．
\[ \begin{array}{l}
4 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+6 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
4 \overrightarrow{\mathrm{QA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{QB}}+6 \overrightarrow{\mathrm{QC}}+7 \overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}
\end{array} \]
を満たす．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PAB}$と三角形$\mathrm{PBC}$の面積比を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{QABC}$と四面体$\mathrm{QBCD}$の体積比を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2014年 第3問円周上に等間隔に$n$個（$n \geqq 4$）の点が配置されている．これらの点から異なる$3$点を無作為に選び出し，それらを頂点とする三角形をつくる．次の問いに答えよ．
(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．
(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2014年 第3問円周上に等間隔に$n$個（$n \geqq 4$）の点が配置されている．これらの点から異なる$3$点を無作為に選び出し，それらを頂点とする三角形をつくる．次の問いに答えよ．
(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．
(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2014年 第2問空間に四面体$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，
\[ \begin{array}{l}
4 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+6 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
4 \overrightarrow{\mathrm{QA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{QB}}+6 \overrightarrow{\mathrm{QC}}+7 \overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}
\end{array} \]
を満たす．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PAB}$と三角形$\mathrm{PBC}$の面積比を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{QABC}$と四面体$\mathrm{QBCD}$の体積比を求めよ．
\[ \begin{array}{l}
4 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+6 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
4 \overrightarrow{\mathrm{QA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{QB}}+6 \overrightarrow{\mathrm{QC}}+7 \overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}
\end{array} \]
を満たす．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PAB}$と三角形$\mathrm{PBC}$の面積比を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{QABC}$と四面体$\mathrm{QBCD}$の体積比を求めよ．