原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，点$\mathrm{A}$の座標を$(2,\ 0)$とし，点$\mathrm{P}$は直線$y=\sqrt{3}x$上にあるものとする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{AOP}$の外接円の半径が$5$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{P}={45}^\circ$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(3)$\angle \mathrm{A}={45}^\circ$となるときの三角形$\mathrm{AOP}$の面積を求めなさい．

空間内の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$について，どの$3$点も同一直線上にはないとする．また，正の実数$a,\ b$は$\sqrt{2}a<b<2a$を満たすとし，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=a$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=b$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$は鈍角三角形であることを示しなさい．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上（ただし，端点を除く）にそれぞれ点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$があり，三角形$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$は正三角形であるとする．このとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は平行であることを示しなさい．

$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{CA}=1$である三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$，直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積を求めよ．

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$をみたす二等辺三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}$，直線$\mathrm{BR}$と辺$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{S}$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき，直線$\mathrm{BS}$は辺$\mathrm{OA}$と直交しているとする．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ 5,\ 7)$，$\mathrm{C}(4,\ 4,\ 5)$がある．また，$s,\ t$は実数であるとして，点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 4)$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上にあるための$s,\ t$の関係式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上にあるときの$s,\ t$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上を動くとき，その軌跡により三角形$\mathrm{ABC}$は二つの部分に分けられる．この二つの部分の面積の比の値$r$を求めよ．ただし，$r \geqq 1$とする．

空間の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\cos \theta$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$のなす角を求めよ．さらに，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\cos \theta+2 \sin \theta$であるとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．ただし，そのときの$\theta$の値は求めなくてよい．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\cos \theta$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1-\cos \theta$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2$の最小値を求めよ．ただし，そのときの$\theta$の値は求めなくてよい．

三角形$\mathrm{ABC}$に内接する半径$R$の円がある．内接円と辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$との接点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．また$\alpha=\angle \mathrm{A}$，$\beta=\angle \mathrm{B}$，$\gamma=\angle \mathrm{C}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とする．

(1)$S_1$を$\displaystyle R,\ \tan \frac{\alpha}{2},\ \tan \frac{\beta}{2},\ \tan \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ．
(2)$S_2$を$\displaystyle R,\ \cos \frac{\alpha}{2},\ \cos \frac{\beta}{2},\ \cos \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ．

以後$\displaystyle \gamma=\frac{\pi}{2}$とする．

(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最大値を求めよ．

以下の各問いに答えよ．

(1)$a$は実数とする．極限$\displaystyle \lim_{x \to +0} \int_x^2 t^a \, dt$を調べよ．
(2)$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha \leqq \beta<\frac{\pi}{2} \right)$が$\tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$であることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の上を動くとき，$3x^2-16xy-12y^2$の値が最大になる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)公正なサイコロを$2$回振り，$1$回目に出た目を$a$，$2$回目に出た目を$b$とする．また，公正なコインを$1$回投げ，表が出たら$c=1$，裏が出たら$c=-1$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(b,\ ca)$と定める．次の問いに答えよ．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になる確率を求めよ．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になる確率を求めよ．
(iii) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の期待値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $\triangle \mathrm{OAB}$の面積の期待値を求めよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるときは面積を$0$とする．

三辺の長さ$x,\ y,\ z$がすべて自然数であり，$x+y+z=100$，$1 \leqq x \leqq y \leqq z$を満たす三角形について考える．ただし，合同な三角形は同一視して考える．次の問に答えなさい．

(1)最大辺の長さ$z$の取り得る値の範囲を求めなさい．
(2)与えられた条件を満たす三角形のうち，最大辺の長さが$45$の三角形は何個あるか．
(3)与えられた条件を満たす三角形は全部で何個あるか．

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}<\frac{\pi}{2}$の$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする．平面$H$上に無い点$\mathrm{C}$から平面$H$，直線$\mathrm{OA}$，直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$p=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$q=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$r=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$として，以下の問いに答えよ．ただし，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積である．

(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}=0$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$p,\ q,\ r$で表せ．
(3)$\mathrm{EF}$の長さを$p,\ q,\ r$で表せ．
(4)$\displaystyle p=\frac{1}{5}$，$q=1$，$r=2$であるとき，$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．