「三角形」について
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私立 千歳科学技術大学 2014年 第2問次の定理について以下の問いに答えなさい．
\mon[定理：] $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$があり，
$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば
\[ \qquad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1 \]
(1)$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい．
(2)この定理を証明しなさい．
\mon[定理：] $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$があり，
$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば
\[ \qquad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1 \]
(1)$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい．
(2)この定理を証明しなさい．
私立 千歳科学技術大学 2014年 第2問次の定理について以下の問いに答えなさい．
\mon[定理：] $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$があり，
$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば
\[ \qquad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1 \]
(1)$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい．
(2)この定理を証明しなさい．
\mon[定理：] $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$があり，
$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば
\[ \qquad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1 \]
(1)$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい．
(2)この定理を証明しなさい．
私立 千歳科学技術大学 2014年 第1問以下の各問いに答えなさい．
(1)次の$[ ]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(5)円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．
(6)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
(1)次の$[ ]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(5)円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．
(6)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
私立 千歳科学技術大学 2014年 第1問以下の各問いに答えなさい．
(1)次の$[ ]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(4)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
(5)$y=xe^{-x}$を微分しなさい．
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$を求めなさい．
(1)次の$[ ]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(4)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
(5)$y=xe^{-x}$を微分しなさい．
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$を求めなさい．
私立 西南学院大学 2014年 第4問三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円$\mathrm{O}$がある．円$\mathrm{O}$と$\mathrm{BC}$との接点を$\mathrm{H}$，円$\mathrm{O}$と$\mathrm{AC}$との接点を$\mathrm{I}$とする．$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{AC}=5$のとき，以下の問に答えよ．
(1)円$\mathrm{O}$の半径は，$\displaystyle \frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[フヘ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の中心と$\mathrm{B}$との距離は，$\displaystyle \frac{[ホマ] \sqrt{[ミム]}}{[フヘ]}$である．
(3)$\mathrm{AI}=[メ]$である．
(1)円$\mathrm{O}$の半径は，$\displaystyle \frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[フヘ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の中心と$\mathrm{B}$との距離は，$\displaystyle \frac{[ホマ] \sqrt{[ミム]}}{[フヘ]}$である．
(3)$\mathrm{AI}=[メ]$である．
私立 北海道医療大学 2014年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=l$，$\angle \mathrm{BAC}={108}^\circ$である．ただし，$l$は正の定数とする．この三角形の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DA}=\mathrm{DB}$となるようにとり，$\angle \mathrm{ABC}=\theta$，$\mathrm{BD}=x$とするとき，以下の問に答えよ．
(1)以下の角度の値を求めよ．
$① \theta$ \qquad $② \angle \mathrm{CAD}$ \qquad $③ \angle \mathrm{CDA}$
(2)点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{DE}$とするとき，三角形$\mathrm{BDE}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AF}$とするとき，三角形$\mathrm{BAF}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(4)$x$を$l$を用いて表せ．
(5)$\cos \theta$の値を求めよ．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径と内接円の半径をそれぞれ$R,\ r$とするとき，次の$①$と$②$の値を分母を有理化して求めよ．
$\displaystyle ① \frac{R^2}{l^2}$ \qquad $\displaystyle ② \frac{r^2}{l^2}$
(1)以下の角度の値を求めよ．
$① \theta$ \qquad $② \angle \mathrm{CAD}$ \qquad $③ \angle \mathrm{CDA}$
(2)点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{DE}$とするとき，三角形$\mathrm{BDE}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AF}$とするとき，三角形$\mathrm{BAF}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(4)$x$を$l$を用いて表せ．
(5)$\cos \theta$の値を求めよ．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径と内接円の半径をそれぞれ$R,\ r$とするとき，次の$①$と$②$の値を分母を有理化して求めよ．
$\displaystyle ① \frac{R^2}{l^2}$ \qquad $\displaystyle ② \frac{r^2}{l^2}$
私立 西南学院大学 2014年 第1問$(1)$～$(5)$の空欄にあてはまる言葉を，次の$1$～$4$から選べ．
\mon[$1$] 必要条件であるが，十分条件ではない．
\mon[$2$] 十分条件であるが，必要条件ではない．
\mon[$3$] 必要十分条件である．
\mon[$4$] 必要条件でも十分条件でもない．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が等しいことは，$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$が相似であるための$[ア]$
(2)整数$a,\ b$がともに奇数であることは，$ab$が奇数であるための$[イ]$
(3)$A \cap B \neq \phi$である集合$A,\ B$について，$x \in \overline{\overline{A} \cap \overline{B}}$であることは，$x \in A \cap B$であるための$[ウ]$
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}>0$であることは，$\triangle \mathrm{ABC}$が鋭角三角形であるための$[エ]$
(5)$|x|+|y| \leqq 1$は，$|x+y| \leqq 1$であるための$[オ]$
\mon[$1$] 必要条件であるが，十分条件ではない．
\mon[$2$] 十分条件であるが，必要条件ではない．
\mon[$3$] 必要十分条件である．
\mon[$4$] 必要条件でも十分条件でもない．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が等しいことは，$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$が相似であるための$[ア]$
(2)整数$a,\ b$がともに奇数であることは，$ab$が奇数であるための$[イ]$
(3)$A \cap B \neq \phi$である集合$A,\ B$について，$x \in \overline{\overline{A} \cap \overline{B}}$であることは，$x \in A \cap B$であるための$[ウ]$
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}>0$であることは，$\triangle \mathrm{ABC}$が鋭角三角形であるための$[エ]$
(5)$|x|+|y| \leqq 1$は，$|x+y| \leqq 1$であるための$[オ]$
私立 愛知学院大学 2014年 第3問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=4$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ABC}=\frac{1}{16}$とする．
\[ \mathrm{AC}=[ア],\quad \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[イ][ウ][エ]}}{[オ][カ]} \]
であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円$\mathrm{O}$の半径を$R$，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とすると，
\[ R=\frac{[キ][ク] \sqrt{[ケ][コ][サ]}}{[シ][ス][セ]},\quad S=\frac{[ソ]}{[タ]} \sqrt{[チ][ツ][テ]} \]
である．また
\[ \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{[ト][ナ]}{[ニ][ヌ]},\quad \mathrm{BD}=\sqrt{[ネノ]} \]
である．
\[ \mathrm{AC}=[ア],\quad \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[イ][ウ][エ]}}{[オ][カ]} \]
であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円$\mathrm{O}$の半径を$R$，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とすると，
\[ R=\frac{[キ][ク] \sqrt{[ケ][コ][サ]}}{[シ][ス][セ]},\quad S=\frac{[ソ]}{[タ]} \sqrt{[チ][ツ][テ]} \]
である．また
\[ \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{[ト][ナ]}{[ニ][ヌ]},\quad \mathrm{BD}=\sqrt{[ネノ]} \]
である．
私立 ノートルダム清心女子大学 2014年 第3問次の設問に答えなさい．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$について$\sin B$を$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
\begin{zahyou*}[ul=1.8mm](-20,20)(-5,20)%
\tenretu*{A(10,14);B(-15,0);C(15,0)}%
{\thicklines
\Drawline{\A\B\C\A}%
}
\Kakukigou\B\A\C{}%
\Kakukigou\C\B\A<Hankei=6mm>{}%
\Kakukigou\A\C\B{}%
\emathPut{(9,15.5)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-18,-1)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(17,-1)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(7.5,9)}{$A$}
\emathPut{(-9.5,0.7)}{$B$}
\emathPut{(9.5,0.7)}{$C$}
\emathPut{(0,-3)}{$a$}
\emathPut{(14.5,8)}{$b$}
\emathPut{(-5.5,8)}{$c$}
\end{zahyou*}
(2)下図のように半径$R$の円に外接する正三角形を$\triangle \mathrm{ABC}$とし，内接する正三角形を$\triangle \mathrm{DEF}$とします．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$で囲まれた図形（図中の斜線部分）の面積を求めなさい．
\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](-20,20)(-10,25)%
\tenretu*{O(0,0);A(0,20);B(-17.32,-10);C(17.32,-10);D(0,10);E(-8.66,-5);F(8.66,-5)}%
{\thicklines
\emPaint*{\A\B\C}
\Nuritubusi[0]{\D\E\F\D}%
\En\O{10}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\D\E\F\D}%
}
\emathPut{(-0.8,21)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-20.8,-11)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(19,-11)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(-0.8,5.5)}{$\mathrm{D}$}
\emathPut{(-6.2,-4)}{$\mathrm{E}$}
\emathPut{(4.5,-4)}{$\mathrm{F}$}
\end{zahyou*}
(1)三角形$\mathrm{ABC}$について$\sin B$を$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
\begin{zahyou*}[ul=1.8mm](-20,20)(-5,20)%
\tenretu*{A(10,14);B(-15,0);C(15,0)}%
{\thicklines
\Drawline{\A\B\C\A}%
}
\Kakukigou\B\A\C{}%
\Kakukigou\C\B\A<Hankei=6mm>{}%
\Kakukigou\A\C\B{}%
\emathPut{(9,15.5)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-18,-1)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(17,-1)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(7.5,9)}{$A$}
\emathPut{(-9.5,0.7)}{$B$}
\emathPut{(9.5,0.7)}{$C$}
\emathPut{(0,-3)}{$a$}
\emathPut{(14.5,8)}{$b$}
\emathPut{(-5.5,8)}{$c$}
\end{zahyou*}
(2)下図のように半径$R$の円に外接する正三角形を$\triangle \mathrm{ABC}$とし，内接する正三角形を$\triangle \mathrm{DEF}$とします．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$で囲まれた図形（図中の斜線部分）の面積を求めなさい．
\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](-20,20)(-10,25)%
\tenretu*{O(0,0);A(0,20);B(-17.32,-10);C(17.32,-10);D(0,10);E(-8.66,-5);F(8.66,-5)}%
{\thicklines
\emPaint*{\A\B\C}
\Nuritubusi[0]{\D\E\F\D}%
\En\O{10}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\D\E\F\D}%
}
\emathPut{(-0.8,21)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-20.8,-11)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(19,-11)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(-0.8,5.5)}{$\mathrm{D}$}
\emathPut{(-6.2,-4)}{$\mathrm{E}$}
\emathPut{(4.5,-4)}{$\mathrm{F}$}
\end{zahyou*}
公立 大阪市立大学 2014年 第3問図のような三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$が中心$\mathrm{O}$，半径$1$の球に内接している．すなわち，三角柱の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$はすべて，中心$\mathrm{O}$，半径$1$の球面上にある．また，三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$は合同な正三角形で，四角形$\mathrm{ADEB}$，四角形$\mathrm{BEFC}$，四角形$\mathrm{CFDA}$は合同な長方形であるとする．$\angle \mathrm{AOD}=2 \alpha$，$\angle \mathrm{AOB}=2 \beta$とおく．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{3}$とする．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ．
(2)三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ．
(2)三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．