「三角形」について
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私立 北里大学 2014年 第3問$a$は$0<a<e$を満たす定数とする．曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$における接線を$\ell$，法線を$m$とおく．以下の問に答えよ．必要ならば$\displaystyle e=\lim_{k \to 0}(1+k)^{\frac{1}{k}}$で，$2.718<e<2.719$であることを用いてよい．
(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)接線$\ell$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S(a)$とおくとき，$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$0<a<e$の範囲を動くとき，$(2)$の$S(a)$を最大にする$a$の値と$S(a)$の最大値を求めよ．
(4)$a$が$0<a<e$の範囲を動くとき，法線$m$が点$(e,\ 0)$を通るような$a$の値の個数はただ$1$個であることを示せ．
(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)接線$\ell$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S(a)$とおくとき，$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$0<a<e$の範囲を動くとき，$(2)$の$S(a)$を最大にする$a$の値と$S(a)$の最大値を求めよ．
(4)$a$が$0<a<e$の範囲を動くとき，法線$m$が点$(e,\ 0)$を通るような$a$の値の個数はただ$1$個であることを示せ．
私立 安田女子大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$(xz+y)^2-(x+yz)^2$を因数分解せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{C}={60}^\circ$，$\displaystyle \sin B=\frac{1}{3}$，$\mathrm{AB}=6$のとき，$\mathrm{AC}$を求めよ．
(3)正十五角形の内角の和を求めよ．
(4)不等式$|x^2-7x|<x-4$を解け．
(1)$(xz+y)^2-(x+yz)^2$を因数分解せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{C}={60}^\circ$，$\displaystyle \sin B=\frac{1}{3}$，$\mathrm{AB}=6$のとき，$\mathrm{AC}$を求めよ．
(3)正十五角形の内角の和を求めよ．
(4)不等式$|x^2-7x|<x-4$を解け．
私立 安田女子大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$(xz+y)^2-(x+yz)^2$を因数分解せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{C}={60}^\circ$，$\displaystyle \sin B=\frac{1}{3}$，$\mathrm{AB}=6$のとき，$\mathrm{AC}$を求めよ．
(3)正十五角形の内角の和を求めよ．
(4)不等式$\sin^4 \theta-\sin^2 \theta \geqq 0$を解け．ただし$0^\circ \leqq \theta<{180}^\circ$とする．
(5)$\sqrt{28-3 \sqrt{12}}$の整数部分を求めよ．
(1)$(xz+y)^2-(x+yz)^2$を因数分解せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{C}={60}^\circ$，$\displaystyle \sin B=\frac{1}{3}$，$\mathrm{AB}=6$のとき，$\mathrm{AC}$を求めよ．
(3)正十五角形の内角の和を求めよ．
(4)不等式$\sin^4 \theta-\sin^2 \theta \geqq 0$を解け．ただし$0^\circ \leqq \theta<{180}^\circ$とする．
(5)$\sqrt{28-3 \sqrt{12}}$の整数部分を求めよ．
私立 安田女子大学 2014年 第3問$xy$座標平面上に$\mathrm{A}(3 \sqrt{3},\ 7)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ -5)$，$\mathrm{C}(0,\ -2)$の$3$点がある．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$のなす角$\theta$を求めよ．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(3)線分$\mathrm{AB}$を$2:3$で内分する点を$\mathrm{P}$としたとき，$\triangle \mathrm{APC}$の面積$S$を求めよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$のなす角$\theta$を求めよ．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(3)線分$\mathrm{AB}$を$2:3$で内分する点を$\mathrm{P}$としたとき，$\triangle \mathrm{APC}$の面積$S$を求めよ．
私立 吉備国際大学 2014年 第2問正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$があり，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}=1$とする．
(1)$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の中点を$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とするとき$\mathrm{EF}=\mathrm{FG}=\mathrm{GH}=\mathrm{HE}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCD}$，$\triangle \mathrm{ODA}$の重心を$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$，$\mathrm{K}$，$\mathrm{L}$とする．四角形$\mathrm{IJKL}$の面積を求めよ．
(3)一辺の長さ$1$の正八面体の各面の重心を頂点とする多面体の体積を求めよ．
(1)$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の中点を$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とするとき$\mathrm{EF}=\mathrm{FG}=\mathrm{GH}=\mathrm{HE}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCD}$，$\triangle \mathrm{ODA}$の重心を$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$，$\mathrm{K}$，$\mathrm{L}$とする．四角形$\mathrm{IJKL}$の面積を求めよ．
(3)一辺の長さ$1$の正八面体の各面の重心を頂点とする多面体の体積を求めよ．
私立 吉備国際大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$(\sqrt{2}-1)^2-(\sqrt{2}-1)(\sqrt{8}+1)$を計算せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)連立不等式$2-3x \leqq 5,\ 2(x-1)>3x-5$を解け．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$のうちから異なる$3$個の数字を並べて$3$桁の整数をつくる．奇数はいくつできるか．
(5)$2$次関数$y=x^2+2ax+4$は$x=1$のとき最小値をとる．その最小値を求めよ．
(1)$(\sqrt{2}-1)^2-(\sqrt{2}-1)(\sqrt{8}+1)$を計算せよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)連立不等式$2-3x \leqq 5,\ 2(x-1)>3x-5$を解け．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$のうちから異なる$3$個の数字を並べて$3$桁の整数をつくる．奇数はいくつできるか．
(5)$2$次関数$y=x^2+2ax+4$は$x=1$のとき最小値をとる．その最小値を求めよ．
私立 同志社大学 2014年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
$a$を実数とする．極値を持つ$3$次関数$f(x)=x^3-ax$について考える．$3$次関数$y=f(x)$が極値を持つための$a$の満たすべき条件は$[ア]$であり，そのとき，極小値は$[イ]$である．このとき，座標平面で曲線$C:y=f(x)$上の原点以外の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における曲線$C$の接線$L$の方程式は$[ウ]$と表せる．また，曲線$C$と接線$L$の点$\mathrm{P}$以外の共有点$\mathrm{Q}$の$x$座標$q$は，$q=[エ]$となる．また，点$\mathrm{P}$と異なる曲線$C$上の点$\mathrm{R}(r,\ f(r))$における接線が接線$L$と平行であるとき，$r=[オ]$である．$\triangle \mathrm{PQR}$の面積$M$を求めると$M=[カ]$である．さらに，曲線$C$を$x$軸正の方向に$t (t>0)$だけ平行移動した曲線を$D$とするとき，この$2$曲線$C$と$D$とが異なる$2$つの共有点を持つための$t$の満たすべき条件は$[キ]$である．そのときの$2$つの共有点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすると，$\alpha=[ク]$であり，$\beta=[ケ]$となる．このとき，$2$曲線$C$と$D$とで囲まれる図形の面積$S$を求めると$S=[コ]$である．
$a$を実数とする．極値を持つ$3$次関数$f(x)=x^3-ax$について考える．$3$次関数$y=f(x)$が極値を持つための$a$の満たすべき条件は$[ア]$であり，そのとき，極小値は$[イ]$である．このとき，座標平面で曲線$C:y=f(x)$上の原点以外の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における曲線$C$の接線$L$の方程式は$[ウ]$と表せる．また，曲線$C$と接線$L$の点$\mathrm{P}$以外の共有点$\mathrm{Q}$の$x$座標$q$は，$q=[エ]$となる．また，点$\mathrm{P}$と異なる曲線$C$上の点$\mathrm{R}(r,\ f(r))$における接線が接線$L$と平行であるとき，$r=[オ]$である．$\triangle \mathrm{PQR}$の面積$M$を求めると$M=[カ]$である．さらに，曲線$C$を$x$軸正の方向に$t (t>0)$だけ平行移動した曲線を$D$とするとき，この$2$曲線$C$と$D$とが異なる$2$つの共有点を持つための$t$の満たすべき条件は$[キ]$である．そのときの$2$つの共有点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすると，$\alpha=[ク]$であり，$\beta=[ケ]$となる．このとき，$2$曲線$C$と$D$とで囲まれる図形の面積$S$を求めると$S=[コ]$である．
私立 同志社大学 2014年 第3問平面上で鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の外側に，$\mathrm{AB}$および$\mathrm{AC}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{ABFG}$，$\mathrm{ACDE}$をつくる．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AG}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AE}}|$とする．線分$\mathrm{EG}$の中点を$\mathrm{M}$，点$\mathrm{C}$から$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，直線$\mathrm{AM}$と$\mathrm{CH}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおき，$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=t$，$\angle \mathrm{CAB}=\theta$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$t,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{HC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{AM}$と直線$\mathrm{BC}$が直交することを示せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(5)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(6)$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$t,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{HC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{AM}$と直線$\mathrm{BC}$が直交することを示せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(5)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(6)$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．
私立 同志社大学 2014年 第2問座標空間において原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と，$3$点$\mathrm{A}(a,\ a,\ b)$，$\mathrm{B}(a,\ b,\ a)$，$\mathrm{C}(b,\ a,\ a)$ $(b>a \geqq 0)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体となる条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$a,\ b$がともに自然数のとき，$(3)$の条件を満たす$b$の最小値と，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．また，そのときの$S$と$V$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体となる条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$a,\ b$がともに自然数のとき，$(3)$の条件を満たす$b$の最小値と，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．また，そのときの$S$と$V$を求めよ．
私立 同志社大学 2014年 第2問座標空間内の球面$x^2+y^2+z^2=9$上に$3$点$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ -2,\ 2)$をとる．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に，原点$\mathrm{O}$から下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)球面上を動く点$\mathrm{P}$を頂点とする四面体$\mathrm{PABC}$を考え，その体積を$V$とする．$V$の最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に，原点$\mathrm{O}$から下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)球面上を動く点$\mathrm{P}$を頂点とする四面体$\mathrm{PABC}$を考え，その体積を$V$とする．$V$の最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．