「三角形」について
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私立 学習院大学 2014年 第3問平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(-t,\ t^2-a)$，$\mathrm{C}(t,\ t^2-a)$があり，条件
\[ a>0,\quad 0<t \leqq \sqrt{a},\quad \triangle \mathrm{ABC} \text{は正三角形} \]
が成り立っているとする．
(1)$a$を$t$で表せ．
(2)$0<t \leqq \sqrt{3}$であることを示せ．
(3)$2$つの放物線$y=x^2-a$，$y=-x^2+a$で囲まれた部分の面積を$S$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$T$とする．$t$が$(2)$の範囲を動くとき，$\displaystyle \frac{S}{T}$の最小値を求めよ．
\[ a>0,\quad 0<t \leqq \sqrt{a},\quad \triangle \mathrm{ABC} \text{は正三角形} \]
が成り立っているとする．
(1)$a$を$t$で表せ．
(2)$0<t \leqq \sqrt{3}$であることを示せ．
(3)$2$つの放物線$y=x^2-a$，$y=-x^2+a$で囲まれた部分の面積を$S$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$T$とする．$t$が$(2)$の範囲を動くとき，$\displaystyle \frac{S}{T}$の最小値を求めよ．
私立 広島修道大学 2014年 第2問放物線$y=-2x^2-2x+4$について，次の問いに答えよ．
(1)この放物線に点$(-1,\ 6)$から引いた$2$本の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$2$本の接線と$x$軸でつくられた三角形の面積を$S_1$とし，この放物線と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$|S_1-S_2|$の値を求めよ．
(1)この放物線に点$(-1,\ 6)$から引いた$2$本の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$2$本の接線と$x$軸でつくられた三角形の面積を$S_1$とし，この放物線と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$|S_1-S_2|$の値を求めよ．
私立 広島修道大学 2014年 第2問$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$がある．このとき，次の問に答えよ．
(1)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$が$(1)$で求めた円の周上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大となるような点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(1)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$が$(1)$で求めた円の周上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大となるような点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
私立 大阪薬科大学 2014年 第3問次の問いに答えなさい．
辺$\mathrm{AB}$の長さが$1$の$\triangle \mathrm{OAB}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$で表す．$n$を自然数とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$の中点を$\mathrm{X}_1$，線分$\mathrm{AX}_1$の中点を$\mathrm{X}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{AX}_n$の中点を$\mathrm{X}_{n+1}$，$\cdots$とする．また，$\triangle \mathrm{OAX}_1$の重心を$\mathrm{P}_1$，$\triangle \mathrm{OAX}_2$の重心を$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OAX}_n$の重心を$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とする．同様に線分$\mathrm{BM}$の中点を$\mathrm{Y}_1$，線分$\mathrm{BY}_1$の中点を$\mathrm{Y}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{BY}_n$の中点を$\mathrm{Y}_{n+1}$，$\cdots$とし，$\triangle \mathrm{OBY}_1$の重心を$\mathrm{Q}_1$，$\triangle \mathrm{OBY}_2$の重心を$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OBY}_n$の重心を$\mathrm{Q}_n$，$\cdots$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}=[$\mathrm{I]$}$，$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}=[$\mathrm{J]$}$である．
(2)線分$\mathrm{AX}_n$の長さを$n$を用いて表すと，$\mathrm{AX}_n=[$\mathrm{K]$}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}$は$n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いてどのように表されるかを求めなさい．
(4)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の長さに関する不等式
\[ 0.666666<\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \]
を満たす最小の自然数$n$は$[$\mathrm{L]$}$である．ただし，$\log_{2}10=3.3219$とする．
辺$\mathrm{AB}$の長さが$1$の$\triangle \mathrm{OAB}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$で表す．$n$を自然数とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$の中点を$\mathrm{X}_1$，線分$\mathrm{AX}_1$の中点を$\mathrm{X}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{AX}_n$の中点を$\mathrm{X}_{n+1}$，$\cdots$とする．また，$\triangle \mathrm{OAX}_1$の重心を$\mathrm{P}_1$，$\triangle \mathrm{OAX}_2$の重心を$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OAX}_n$の重心を$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とする．同様に線分$\mathrm{BM}$の中点を$\mathrm{Y}_1$，線分$\mathrm{BY}_1$の中点を$\mathrm{Y}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{BY}_n$の中点を$\mathrm{Y}_{n+1}$，$\cdots$とし，$\triangle \mathrm{OBY}_1$の重心を$\mathrm{Q}_1$，$\triangle \mathrm{OBY}_2$の重心を$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$，$\triangle \mathrm{OBY}_n$の重心を$\mathrm{Q}_n$，$\cdots$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OX}_1}=[$\mathrm{I]$}$，$\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1}=[$\mathrm{J]$}$である．
(2)線分$\mathrm{AX}_n$の長さを$n$を用いて表すと，$\mathrm{AX}_n=[$\mathrm{K]$}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}$は$n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いてどのように表されるかを求めなさい．
(4)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の長さに関する不等式
\[ 0.666666<\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \]
を満たす最小の自然数$n$は$[$\mathrm{L]$}$である．ただし，$\log_{2}10=3.3219$とする．
私立 広島修道大学 2014年 第2問次の問に答えよ．
(1)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{B}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$x-3y+2=0$であり，点$\mathrm{C}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$4x+2y-5=0$である．このとき，$3$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の方程式を求めよ．
(2)$a$を定数とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^3-\frac{15}{4}x^2+8x+5$のグラフと直線$y=2x+a$が共有点を$3$個もち，それらの$x$座標がすべて正の数となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{B}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$x-3y+2=0$であり，点$\mathrm{C}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$4x+2y-5=0$である．このとき，$3$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の方程式を求めよ．
(2)$a$を定数とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^3-\frac{15}{4}x^2+8x+5$のグラフと直線$y=2x+a$が共有点を$3$個もち，それらの$x$座標がすべて正の数となるような$a$の値の範囲を求めよ．
私立 津田塾大学 2014年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$をそれぞれ$1:2$に内分する点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{C}_1$とする．また，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$の辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$，$\mathrm{C}_1 \mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$をそれぞれ$1:2$に内分する点を$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{C}_2$とする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{C}_2 \mathrm{A}_2}$および$\overrightarrow{\mathrm{C}_2 \mathrm{B}_2}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
私立 早稲田大学 2014年 第3問直線$4x+3y=48$，$3x-4y=0$と$y$軸のつくる三角形に内接する円の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$である．
私立 早稲田大学 2014年 第5問角$A$が鈍角の三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$2 \sqrt{2}$である．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=\frac{[ナ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ニ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{[ヌ]} \]
である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=\frac{[ナ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ニ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{[ヌ]} \]
である．
私立 青山学院大学 2014年 第2問平面上に，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2}$，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$であるような三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．三角形$\mathrm{ABP}$が正三角形になるように，直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{O}$の反対側に点$\mathrm{P}$をとる．このとき，
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{[$13$]}{[$14$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(2)点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[$17$]}{[$18$][$19$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$20$]}{[$21$][$22$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．
(3)$\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[$23$][$24$]}}{[$25$]}$で，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$とが平行であることに注意すると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MP}}=\frac{[$26$] \sqrt{[$27$]}}{[$28$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\sqrt{[$29$]}}{[$30$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{[$13$]}{[$14$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(2)点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[$17$]}{[$18$][$19$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$20$]}{[$21$][$22$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．
(3)$\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[$23$][$24$]}}{[$25$]}$で，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$とが平行であることに注意すると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MP}}=\frac{[$26$] \sqrt{[$27$]}}{[$28$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\sqrt{[$29$]}}{[$30$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．
私立 青山学院大学 2014年 第3問下図のように，点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$1$で中心角が$\displaystyle \frac{2}{3} \pi$の扇形$\mathrm{OAB}$がある．$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たす角として，弧$\mathrm{AB}$上に，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$，$\angle \mathrm{BOQ}=\theta$を満たす点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとる．また，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，線分$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{Q}$から線分$\mathrm{OB}$に垂線を下ろし，線分$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)三角形$\mathrm{OPR}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$の範囲を動くとき，五角形$\mathrm{ORPQS}$の面積の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)三角形$\mathrm{OPR}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$の範囲を動くとき，五角形$\mathrm{ORPQS}$の面積の最大値を求めよ．