辺$\mathrm{AB}$の長さが$3$，辺$\mathrm{AC}$の長さが$2$，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$について考える．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_2$としたとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$について考える．辺$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OA}$を$2:5$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{AQ}$と線分$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=m \overrightarrow{\mathrm{OA}}+n \overrightarrow{\mathrm{OB}}$（$m,\ n$は実数）と表せるとき，$\displaystyle \frac{15m}{2n}$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=5$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{A}$の大きさを求めよ．
(2)外接円の半径を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$と三角形の外部にある点$\mathrm{O}$を結ぶ各直線が，三角形の対辺またはその延長上と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．ただし，点$\mathrm{O}$は三角形の辺上にも，その延長上にもないものとする．
（図は省略）

(1)三角形の面積比$\triangle \mathrm{AOB}:\triangle \mathrm{AOC}$および$\triangle \mathrm{BOC}:\triangle \mathrm{BOA}$を線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{CP}$，$\mathrm{AQ}$，$\mathrm{CQ}$の長さを用いて求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{OR}}=1$となることを証明せよ．
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{AR}=4$，$\mathrm{CP}=3$のとき，比$\mathrm{RO}:\mathrm{CO}$を求めよ．

一辺の長さが$1$である正三角形を右図のように一段ずつ積み重ねていき，$k$段積み重ねた図形を$F_k$とおく．図形$F_k$に表れる一辺の長さが$n$である上向きの正三角形$\triangle$の個数を$F_k(n)$とおく（下向きの正三角形$\bigtriangledown$は考えない）．例えば$F_2(1)=3$，$F_2(2)=1$である．このとき，次の問に答えなさい．
（図は省略）

(1)$F_3(1)=[ア]$，$F_3(2)=[イ]$，$F_3(3)=[ウ]$である．
(2)図形$F_k$に表れる一辺の長さが$1$である上向きの正三角形の個数は
\[ F_k(1)=\frac{[エ]([エ]+[オ])}{[カ]} \]
である．
(3)図形$F_k$に表れる一辺の長さが$n$である上向きの正三角形の個数は
\[ F_k(n)=\frac{([キ]-n+[ク])([ケ]-n+[コ])}{[サ]} \]
である．ただし，$[ク]<[コ]$となるように表しなさい．
(4)図形$F_k$に表れる上向きの正三角形の個数は全部で
\[ \frac{[シ] ([ス]+[セ])([ソ]+[タ])}{[チ]} \]
である．ただし$[セ]<[タ]$となるように表しなさい．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$つの角の大きさの比$A:B:C$が$2:3:7$であるとする．また，頂点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$におろした垂線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$としたとき$\mathrm{BD}=\sqrt{10}$である．

(1)$\mathrm{BC}=2 \sqrt{[サ][シ]}$，$\mathrm{AD}=\sqrt{[ス][セ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$5+5 \sqrt{[ソ][タ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$が内接する円の面積は$[チ][ツ] \pi$である．ただし，$\pi$は円周率を表す．
(4)$\displaystyle \cos C=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{[テ][ト]}}{4}$である．

座標$(2,\ 0)$の点を$\mathrm{A}$，曲線$y=2x^2-4x+4$が$y$軸と交わる点を$\mathrm{B}$，原点を$\mathrm{O}$とする．またこの曲線上の$1$点を$\mathrm{P}$としたとき，$\triangle \mathrm{BOP}$と$\triangle \mathrm{POA}$の面積が等しくなる．このとき$\mathrm{P}$の座標をすべて求めなさい．

$s$を$0<s<1$の範囲にある実数とする．$\triangle \mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$s:1-s$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=k \overrightarrow{\mathrm{AE}}$とおく．$k$を$s$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{AFD}$の面積が$\triangle \mathrm{EFB}$の面積の$2$倍になるように$s$を定めよ．
(3)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AE}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$となるように$s$を定めよ．

一辺の長さが$1$の正二十面体の$1$つの面を$\triangle \mathrm{ABC}$とする．さらに外接球の中心を$\mathrm{O}$とする．すなわち，この正二十面体の$12$個の頂点は中心を$\mathrm{O}$とする$1$つの球の上にある．次の問いに答えなさい．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{O}$を通る平面でこの正二十面体を切ったとき，切り口として得られる六角形の面積を求めなさい．
(2)$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{OD}$の長さを求めなさい．

$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ y,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ \sqrt{5})$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$において，$y>0$，$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{3}$とする．このとき$y$の値を求めると$y=[　]$である．また，原点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を成分で表すと$[　]$である．