「三角形」について
タグ「三角形」の検索結果
（58ページ目：全1576問中571問～580問を表示）
国立 福井大学 2014年 第5問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-3x+6$があり，$C$上の点で$x$座標が$t$と$2t$であるものをそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただし$t>0$とする．
(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が一直線上にあるときの$t$の値を$t_0$とおく．$t_0$の値を求めよ．
(2)$t=t_0$のとき，$\triangle \mathrm{OAQ}$の周および内部と，不等式$\displaystyle y \geqq \frac{1}{2}x^2-3x+6$の表す領域との共通部分の面積を求めよ．
(3)$0<t<t_0$を満たす$t$に対して，$\triangle \mathrm{APQ}$の面積を$S(t)$とおくとき，$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が一直線上にあるときの$t$の値を$t_0$とおく．$t_0$の値を求めよ．
(2)$t=t_0$のとき，$\triangle \mathrm{OAQ}$の周および内部と，不等式$\displaystyle y \geqq \frac{1}{2}x^2-3x+6$の表す領域との共通部分の面積を求めよ．
(3)$0<t<t_0$を満たす$t$に対して，$\triangle \mathrm{APQ}$の面積を$S(t)$とおくとき，$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$，$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
国立 山口大学 2014年 第3問四面体$\mathrm{ABCD}$において，
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=1,\quad \mathrm{BC}=\sqrt{3},\quad \angle \mathrm{BDC}=\theta \]
のとき，次の問いに答えなさい．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(1)点$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$を含む平面に垂線を下ろし，その平面との交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{AH}$，$\mathrm{BH}$，$\mathrm{CH}$，$\mathrm{DH}$の長さを，それぞれ$\theta$を用いて表しなさい．
(2)$t=\cos \theta$とする．$\theta$を一定の値に保ったまま点$\mathrm{D}$が動くときの四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を，$t$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$で求めた四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を$V(t)$とする．$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で$\theta$が動くときの$V(t)$の最大値を求めなさい．ただし，$V(t)$が最大値をとるときの$\theta$の値は求めなくてよい．
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=1,\quad \mathrm{BC}=\sqrt{3},\quad \angle \mathrm{BDC}=\theta \]
のとき，次の問いに答えなさい．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(1)点$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$を含む平面に垂線を下ろし，その平面との交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{AH}$，$\mathrm{BH}$，$\mathrm{CH}$，$\mathrm{DH}$の長さを，それぞれ$\theta$を用いて表しなさい．
(2)$t=\cos \theta$とする．$\theta$を一定の値に保ったまま点$\mathrm{D}$が動くときの四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を，$t$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$で求めた四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を$V(t)$とする．$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で$\theta$が動くときの$V(t)$の最大値を求めなさい．ただし，$V(t)$が最大値をとるときの$\theta$の値は求めなくてよい．
国立 山形大学 2014年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$，$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
国立 東京海洋大学 2014年 第3問座標空間内の定点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$と$2$つの点$\mathrm{P}(p,\ p,\ 0)$，$\mathrm{Q}(q,\ -q,\ 0)$が$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$をみたしている．ただし，$p>0$，$q>0$とする．また，以下において$\mathrm{O}$を座標空間の原点とする．このとき次の問に答えよ．
(1)三角形$\mathrm{APQ}$の面積は$p$と$q$の値によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積が最大のとき，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標とこの四面体に内接する球の半径を求めよ．
(1)三角形$\mathrm{APQ}$の面積は$p$と$q$の値によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積が最大のとき，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標とこの四面体に内接する球の半径を求めよ．
国立 茨城大学 2014年 第3問$\mathrm{OA}=\sqrt{3}$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{AB}=\sqrt{5}$となる三角形$\mathrm{OAB}$がある．三角形$\mathrm{OAB}$の内部の点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とすると，
\[ \mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1,\quad \mathrm{OQ}:\mathrm{QB}=1:2 \]
であった．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}$を求めよ．
\mon[注] 点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線の足とは，点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{YZ}$との交点のことである．
\[ \mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1,\quad \mathrm{OQ}:\mathrm{QB}=1:2 \]
であった．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}$を求めよ．
\mon[注] 点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線の足とは，点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{YZ}$との交点のことである．
国立 茨城大学 2014年 第1問下の図は自然数の平方数を三角形状に順に並べたものである．各平方数については，第$n$段目の第$m$項と呼ぶことにする．例えば，第$4$段目の第$2$項と呼ばれる平方数は$64$である．このとき，次の各問に答えよ．
\begin{tabular}{ccccccccccc}
& & & & & $1$ & & & & & \\
& & & & $4$ & & $9$ & & & & \\
& & & $16$ & & $25$ & & $36$ & & & \\
& & $49$ & & $64$ & & $81$ & & $100$ & & \\
& $121$ & & $144$ & & $169$ & & $196$ & & $225$ & \\
$\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$
\end{tabular}
(1)第$n$段目の第$1$項を$n$を用いて表せ．
(2)第$n$段目の各項の総和を$n$を用いて表せ．
\begin{tabular}{ccccccccccc}
& & & & & $1$ & & & & & \\
& & & & $4$ & & $9$ & & & & \\
& & & $16$ & & $25$ & & $36$ & & & \\
& & $49$ & & $64$ & & $81$ & & $100$ & & \\
& $121$ & & $144$ & & $169$ & & $196$ & & $225$ & \\
$\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$
\end{tabular}
(1)第$n$段目の第$1$項を$n$を用いて表せ．
(2)第$n$段目の各項の総和を$n$を用いて表せ．
国立 山形大学 2014年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$，$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$が与えられているとする．以下の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が，それぞれ$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=s:1-s$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=t:1-t$と辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$を内分するように与えられているとする（即ち$0<s<1$，$0<t<1$とする）．直線$\mathrm{PQ}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通るための必要十分条件は$3st=s+t$であることを示せ．
(2)直線$\ell$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る直線とする．$\ell$によって，$\triangle \mathrm{ABC}$はふたつの図形（三角形と四角形，またはふたつの三角形）に分割される．これらの図形の面積のうち，大きい方を$S_1$，小さい方を$S_2$とする．ただし，面積が等しい場合も同じ記号を用い，$S_1=S_2$とする．
(i) $\ell$が$\triangle \mathrm{ABC}$のいずれかの頂点を通ることは$S_1=S_2$となるための必要十分条件であることを示せ．
(ii) $\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の最大値と最小値を求めよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が，それぞれ$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=s:1-s$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=t:1-t$と辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$を内分するように与えられているとする（即ち$0<s<1$，$0<t<1$とする）．直線$\mathrm{PQ}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通るための必要十分条件は$3st=s+t$であることを示せ．
(2)直線$\ell$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る直線とする．$\ell$によって，$\triangle \mathrm{ABC}$はふたつの図形（三角形と四角形，またはふたつの三角形）に分割される．これらの図形の面積のうち，大きい方を$S_1$，小さい方を$S_2$とする．ただし，面積が等しい場合も同じ記号を用い，$S_1=S_2$とする．
(i) $\ell$が$\triangle \mathrm{ABC}$のいずれかの頂点を通ることは$S_1=S_2$となるための必要十分条件であることを示せ．
(ii) $\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の最大値と最小値を求めよ．
国立 東京農工大学 2014年 第3問$e$は自然対数の底とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に$3$点
\[ \mathrm{A}(e^{-\theta}+\sqrt{3},\ e^{-\theta}),\quad \mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta),\quad \mathrm{C}(\sqrt{3},\ 0) \]
がある．ただし，$\theta \geqq 0$とする．次の問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$F(\theta)$とする．$F(\theta)$を求めよ．
(2)$F(\theta)$の導関数を$F^\prime(\theta)$とする．区間$0<\theta<2\pi$において$F^\prime(\theta)=0$となる$\theta$の値をすべて求めよ．
(3)$n$を自然数とする．区間$2(n-1) \pi \leqq \theta \leqq 2n\pi$における$F(\theta)$の最大値，最小値をそれぞれ$\alpha_n$，$\beta_n$とする．$\alpha_n$，$\beta_n$を求めよ．また最大値を与える$\theta$の値と最小値を与える$\theta$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$\alpha_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，$\displaystyle S=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n$とおく．$S$の値を求めよ．
\[ \mathrm{A}(e^{-\theta}+\sqrt{3},\ e^{-\theta}),\quad \mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta),\quad \mathrm{C}(\sqrt{3},\ 0) \]
がある．ただし，$\theta \geqq 0$とする．次の問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$F(\theta)$とする．$F(\theta)$を求めよ．
(2)$F(\theta)$の導関数を$F^\prime(\theta)$とする．区間$0<\theta<2\pi$において$F^\prime(\theta)=0$となる$\theta$の値をすべて求めよ．
(3)$n$を自然数とする．区間$2(n-1) \pi \leqq \theta \leqq 2n\pi$における$F(\theta)$の最大値，最小値をそれぞれ$\alpha_n$，$\beta_n$とする．$\alpha_n$，$\beta_n$を求めよ．また最大値を与える$\theta$の値と最小値を与える$\theta$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$\alpha_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，$\displaystyle S=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n$とおく．$S$の値を求めよ．