「三角形」について
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国立 岐阜大学 2014年 第1問$t$は実数で$0<t<2$とする．図のように，$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$があり，辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{CP}=\mathrm{AQ}=t$のとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QB}$の長さを，それぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ．
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QB}$の長さを，それぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ．
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ．
国立 岐阜大学 2014年 第1問$t$は実数で$0<t<2$とする．図のように，$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$があり，辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{CP}=\mathrm{AQ}=t$のとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QB}$の長さを，それぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ．
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QB}$の長さを，それぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ．
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ．
国立 山梨大学 2014年 第4問楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$および直線$\ell:y=kx (k>0)$とそれらの交点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，次の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いた式で表せ．
(2)楕円$E$上の点$\mathrm{P}$での接線が直線$\ell$に平行なとき，点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いた式で表せ．
(3)楕円$E$上の点$\mathrm{C}$を三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となる点とするとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いた式で表せ．
(2)楕円$E$上の点$\mathrm{P}$での接線が直線$\ell$に平行なとき，点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いた式で表せ．
(3)楕円$E$上の点$\mathrm{C}$を三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となる点とするとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
国立 大分大学 2014年 第2問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2 \sqrt{2}$の球面$S$上に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
国立 大分大学 2014年 第3問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2 \sqrt{2}$の球面$S$上に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
国立 大分大学 2014年 第2問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2 \sqrt{2}$の球面$S$上に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
国立 岐阜大学 2014年 第4問次の問に答えよ．
(1)$a,\ b>0$とする．このとき
\[ \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} \]
であることを証明せよ．また，等号が成立するのは$a=b$の場合だけであることを示せ．
(2)$a,\ b,\ c>0$とする．このとき
\[ (a+b)(b+c)(c+a) \geqq 8abc \]
であることを証明せよ．また，等号が成立するのはどのような場合か述べよ．
(3)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を三角形の$3$辺の長さとする．このとき
\[ \alpha\beta\gamma \geqq (-\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\beta+\gamma)(\alpha+\beta-\gamma) \]
であることを証明せよ．また，等号が成立するのは正三角形の場合だけであることを示せ．
(4)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を三角形の$3$辺の長さとする．このとき
\[ \frac{\alpha}{-\alpha+\beta+\gamma}+\frac{\beta}{\alpha-\beta+\gamma}+\frac{\gamma}{\alpha+\beta-\gamma} \geqq 3 \]
であることを証明せよ．また，等号が成立するのは正三角形の場合だけであることを示せ．
(1)$a,\ b>0$とする．このとき
\[ \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} \]
であることを証明せよ．また，等号が成立するのは$a=b$の場合だけであることを示せ．
(2)$a,\ b,\ c>0$とする．このとき
\[ (a+b)(b+c)(c+a) \geqq 8abc \]
であることを証明せよ．また，等号が成立するのはどのような場合か述べよ．
(3)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を三角形の$3$辺の長さとする．このとき
\[ \alpha\beta\gamma \geqq (-\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\beta+\gamma)(\alpha+\beta-\gamma) \]
であることを証明せよ．また，等号が成立するのは正三角形の場合だけであることを示せ．
(4)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を三角形の$3$辺の長さとする．このとき
\[ \frac{\alpha}{-\alpha+\beta+\gamma}+\frac{\beta}{\alpha-\beta+\gamma}+\frac{\gamma}{\alpha+\beta-\gamma} \geqq 3 \]
であることを証明せよ．また，等号が成立するのは正三角形の場合だけであることを示せ．
国立 山形大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2-3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha-1}+\frac{\alpha}{\beta-1}$の値を求めよ．
(2)$x$が自然数のとき，不等式$(\sqrt{x}-\sqrt{2})^2<1$を満たす$x$の値をすべて求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$について，$4 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立っている．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$1$であるとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を求めよ．
(1)$2$次方程式$x^2-3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha-1}+\frac{\alpha}{\beta-1}$の値を求めよ．
(2)$x$が自然数のとき，不等式$(\sqrt{x}-\sqrt{2})^2<1$を満たす$x$の値をすべて求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$について，$4 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立っている．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$1$であるとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第2問$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt{x}$がある．曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{t}) (t>0)$における接線を$\ell$とする．さらに，直線$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とするとき，$\triangle \mathrm{PQR}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．
(4)曲線$C$，直線$\ell$および$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とするとき，$\triangle \mathrm{PQR}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．
(4)曲線$C$，直線$\ell$および$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．
国立 山形大学 2014年 第4問$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}$は，$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}=\sqrt{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{B}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{C}=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}=\theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を満たす．下図のように，点$\mathrm{A}_1$から辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_2$とし，点$\mathrm{B}_2$から辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{B}_2 \mathrm{A}_2$とする．次に，点$\mathrm{A}_2$から辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_3$とし，点$\mathrm{B}_3$から辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{B}_3 \mathrm{A}_3$とする．この操作を繰り返し，辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}$上に点$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$，$\cdots$を，辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}$上に点$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_4$，$\cdots$を定める．自然数$n$に対し，$\triangle \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$の面積を$S_n$とし，これらの面積の総和を$\displaystyle T=\sum_{n=1}^\infty S_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$S_1=\sin \theta \cos^3 \theta$，$S_2=\sin^5 \theta \cos^3 \theta$を示し，一般項$S_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle T=\frac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin^2 \theta}$を示せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$T$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)$S_1=\sin \theta \cos^3 \theta$，$S_2=\sin^5 \theta \cos^3 \theta$を示し，一般項$S_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle T=\frac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin^2 \theta}$を示せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$T$の最大値を求めよ．