「三角形」について
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国立 鳴門教育大学 2014年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，外心を$\mathrm{O}$，内接円の半径を$r$，外接円の半径を$R$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{I}$と$\mathrm{O}$が一致するとき，$R=2r$となることを証明しなさい．
(2)$\angle \mathrm{ABC}$と$\angle \mathrm{ACB}$がともに${60}^\circ$より小さいとき，$\mathrm{BC}>2 \sqrt{3}r$となることを証明しなさい．
(1)$\mathrm{I}$と$\mathrm{O}$が一致するとき，$R=2r$となることを証明しなさい．
(2)$\angle \mathrm{ABC}$と$\angle \mathrm{ACB}$がともに${60}^\circ$より小さいとき，$\mathrm{BC}>2 \sqrt{3}r$となることを証明しなさい．
国立 滋賀大学 2014年 第4問$k$を正の定数とする．円$C:x^2+y^2-4x-2y+1=0$と共有点をもたない直線$\displaystyle \ell:y=-\frac{1}{2}x+k$について，次の問いに答えよ．
(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\ell$上の$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ$(2,\ k-1)$，$(2k-2,\ 1)$とする．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の重心$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{Q}$の軌跡と$C$がただ$1$つの共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\ell$上の$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ$(2,\ k-1)$，$(2k-2,\ 1)$とする．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の重心$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{Q}$の軌跡と$C$がただ$1$つの共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
国立 奈良女子大学 2014年 第4問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{CM}$上に，$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=y \overrightarrow{\mathrm{CM}}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$が垂直であるとき，$y$を$x$を用いて表せ．
(3)$x$が$0<x<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{CMP}$の面積の最小値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{CM}$上に，$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=y \overrightarrow{\mathrm{CM}}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$が垂直であるとき，$y$を$x$を用いて表せ．
(3)$x$が$0<x<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{CMP}$の面積の最小値を求めよ．
国立 奈良女子大学 2014年 第5問三角形$\mathrm{ABC}$を$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$かつ$\mathrm{AB}>\mathrm{BC}$である二等辺三角形とする．辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$を，三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{CDB}$が相似となるようにとる．三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，三角形$\mathrm{ADC}$の外心を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{ADC}$の外部にあることを示せ．
(2)四角形$\mathrm{AOCP}$において，$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{APC}$であることを示せ．
(3)三角形$\mathrm{CDB}$の外心は，三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の周上にあることを示せ．
(1)点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{ADC}$の外部にあることを示せ．
(2)四角形$\mathrm{AOCP}$において，$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{APC}$であることを示せ．
(3)三角形$\mathrm{CDB}$の外心は，三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の周上にあることを示せ．
国立 三重大学 2014年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=2$とする．この三角形の辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上に，それぞれ点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を，四角形$\mathrm{DECF}$が平行四辺形となるように定める．$\mathrm{CE}=x$，$\mathrm{CF}=y$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の内積を計算せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と$x,\ y$を用いて表せ．次に，点$\mathrm{D}$が辺$\mathrm{AB}$上にあることを用いて，$y$を$x$の式で表せ．
(3)$x=y$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の内積を計算せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と$x,\ y$を用いて表せ．次に，点$\mathrm{D}$が辺$\mathrm{AB}$上にあることを用いて，$y$を$x$の式で表せ．
(3)$x=y$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$の長さを求めよ．
国立 三重大学 2014年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=2$とする．この三角形の辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上に，それぞれ点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を，四角形$\mathrm{DECF}$が平行四辺形となるように定める．$\mathrm{CE}=x$，$\mathrm{CF}=y$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の内積を計算せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と$x,\ y$を用いて表せ．次に，点$\mathrm{D}$が辺$\mathrm{AB}$上にあることを用いて，$y$を$x$の式で表せ．
(3)$x=y$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の内積を計算せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と$x,\ y$を用いて表せ．次に，点$\mathrm{D}$が辺$\mathrm{AB}$上にあることを用いて，$y$を$x$の式で表せ．
(3)$x=y$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$の長さを求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2014年 第2問$xy$平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 3)$を直径の両端とする円がある．図のようにこの円と$x$軸との原点以外の交点を$\mathrm{B}$，線分$\mathrm{OA}$に関して$\mathrm{B}$と反対側の円周上に$\angle \mathrm{COA}={45}^\circ$を満たす点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CA}$の延長線と$x$軸との交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{AOD}$の外心を$\mathrm{P}$として，$\angle \mathrm{OPD}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AOD}$の外接円の方程式を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を成分表示せよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{AOD}$の外心を$\mathrm{P}$として，$\angle \mathrm{OPD}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AOD}$の外接円の方程式を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を成分表示せよ．
国立 徳島大学 2014年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{2}{3}$が成り立つとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\alpha$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\beta$として次の問いに答えよ．
(1)$s,\ t$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{H}$を，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$が$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$と垂直となるようにとる．このとき，$\alpha$，$\beta$を$s,\ t$の式で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$(1)$の点$\mathrm{H}$に対して，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HG}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{c}$となるとき，$\alpha$，$\beta$の値を求めよ．
(3)$\alpha$，$\beta$が$(2)$で求めた値をとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$の値を求めよ．
(1)$s,\ t$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{H}$を，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$が$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$と垂直となるようにとる．このとき，$\alpha$，$\beta$を$s,\ t$の式で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$(1)$の点$\mathrm{H}$に対して，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HG}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{c}$となるとき，$\alpha$，$\beta$の値を求めよ．
(3)$\alpha$，$\beta$が$(2)$で求めた値をとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$の値を求めよ．
国立 徳島大学 2014年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{2}{3}$が成り立つとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\alpha$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\beta$として次の問いに答えよ．
(1)$s,\ t$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{H}$を，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$が$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$と垂直となるようにとる．このとき，$\alpha$，$\beta$を$s,\ t$の式で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$(1)$の点$\mathrm{H}$に対して，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HG}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{c}$となるとき，$\alpha$，$\beta$の値を求めよ．
(3)$\alpha$，$\beta$が$(2)$で求めた値をとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$の値を求めよ．
(1)$s,\ t$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{H}$を，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$が$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$と垂直となるようにとる．このとき，$\alpha$，$\beta$を$s,\ t$の式で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$(1)$の点$\mathrm{H}$に対して，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HG}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{c}$となるとき，$\alpha$，$\beta$の値を求めよ．
(3)$\alpha$，$\beta$が$(2)$で求めた値をとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$の値を求めよ．
国立 愛知教育大学 2014年 第4問座標平面上に点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ \sqrt{3})$を頂点とする正三角形$\mathrm{ABC}$をとる．また，点$(-1,\ 0)$，$(0,\ 0)$，$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$を頂点とする正三角形を$x$軸の正の方向に$t$だけ平行移動して得られる正三角形$\mathrm{PQR}$を考える．ただし，$t$は$0$以上の実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$の共通部分の面積を$f(t)$とするとき，関数$y=f(t)$のグラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(t)$と$t$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$の共通部分の面積を$f(t)$とするとき，関数$y=f(t)$のグラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(t)$と$t$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．