「三角形」について
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国立 福岡教育大学 2014年 第2問正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{DE}$の中点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}$を最も簡単な整数の比で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$のとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}$を最も簡単な整数の比で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$のとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を求めよ．
国立 福岡教育大学 2014年 第2問平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$があり，実数$k,\ m,\ n$に対して
\[ k \overrightarrow{\mathrm{PO}}+m \overrightarrow{\mathrm{PA}}+n \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとする．次の問いに答えよ．
(1)$k=4$，$m=1$，$n=2$のとき，$\triangle \mathrm{POA}$，$\triangle \mathrm{POB}$，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積比を最も簡単な整数の比で表せ．
(2)$k$を$0$以上の定数とする．点$\mathrm{P}$が$m \geqq 0$，$n \geqq 0$，$m+n=3$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は線分になることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が$k \geqq 1$，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$，$m+n=3$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在する領域$D$を図示せよ．また，領域$D$の面積は$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の何倍になるかを求めよ．
\[ k \overrightarrow{\mathrm{PO}}+m \overrightarrow{\mathrm{PA}}+n \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとする．次の問いに答えよ．
(1)$k=4$，$m=1$，$n=2$のとき，$\triangle \mathrm{POA}$，$\triangle \mathrm{POB}$，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積比を最も簡単な整数の比で表せ．
(2)$k$を$0$以上の定数とする．点$\mathrm{P}$が$m \geqq 0$，$n \geqq 0$，$m+n=3$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は線分になることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が$k \geqq 1$，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$，$m+n=3$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在する領域$D$を図示せよ．また，領域$D$の面積は$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の何倍になるかを求めよ．
国立 佐賀大学 2014年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{AC}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$を満たしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)角$\mathrm{A}$の大きさを求めよ．
(2)$\sin B$と$\cos B$の値を求めよ．
(3)加法定理を用いて，角$\mathrm{B}$の大きさを求めよ．
(1)角$\mathrm{A}$の大きさを求めよ．
(2)$\sin B$と$\cos B$の値を求めよ．
(3)加法定理を用いて，角$\mathrm{B}$の大きさを求めよ．
国立 琉球大学 2014年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{CD}$，$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\mathrm{AP}=\sqrt{7}$のとき，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\mathrm{AP}=\sqrt{7}$のとき，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第3問下図の平行六面体において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし，$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
国立 福島大学 2014年 第3問座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-6,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -8)$，$\mathrm{C}(15,\ 28)$がある．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の方程式をそれぞれ求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(3)線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めなさい．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めなさい．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心の座標を求めなさい．
(6)$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線の方程式を求めなさい．
(1)直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の方程式をそれぞれ求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(3)線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めなさい．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めなさい．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心の座標を求めなさい．
(6)$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線の方程式を求めなさい．
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
国立 琉球大学 2014年 第3問整数$m,\ n$は$m \geqq 1$，$n \geqq 2$をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)$x>0$のとき，$y=\log x$の第$1$次導関数$y^\prime$と第$2$次導関数$y^{\prime\prime}$を求めよ．
(2)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(m,\ \log m)$，$\mathrm{B}(m+1,\ \log m)$，$\mathrm{C}(m+1,\ \log (m+1))$を頂点とする三角形の面積を$S_m$とする．$S_m$を$m$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle f(m)=\log m+S_m-\int_m^{m+1} \log x \, dx$とおく．$f(m)<0$が成り立つことを，$y=\log x$のグラフを用いて説明せよ．
(4)$f(1)+f(2)+\cdots +f(n-1)<0$であることを用いて，不等式
\[ \log 1+\log 2+\cdots +\log (n-1)<n \log n-n+1-\frac{1}{2} \log n \]
を証明せよ．
(5)不等式$\displaystyle n!<e \sqrt{n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$を証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$x>0$のとき，$y=\log x$の第$1$次導関数$y^\prime$と第$2$次導関数$y^{\prime\prime}$を求めよ．
(2)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(m,\ \log m)$，$\mathrm{B}(m+1,\ \log m)$，$\mathrm{C}(m+1,\ \log (m+1))$を頂点とする三角形の面積を$S_m$とする．$S_m$を$m$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle f(m)=\log m+S_m-\int_m^{m+1} \log x \, dx$とおく．$f(m)<0$が成り立つことを，$y=\log x$のグラフを用いて説明せよ．
(4)$f(1)+f(2)+\cdots +f(n-1)<0$であることを用いて，不等式
\[ \log 1+\log 2+\cdots +\log (n-1)<n \log n-n+1-\frac{1}{2} \log n \]
を証明せよ．
(5)不等式$\displaystyle n!<e \sqrt{n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$を証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底である．