「三角形」について
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国立 信州大学 2014年 第4問座標平面において，$C:y=e^{-x} (x>0)$上の点$(a,\ e^{-a})$の接線を$L$とおき，$L$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$L$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$，原点を$\mathrm{O}$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_1$とし，$y$軸，$L$，$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とおく．
(1)$S_1,\ S_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$a>0$のとき，$(a-1)e^a+1>0$であることを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$a$の関数とみたとき，区間$(0,\ \infty)$で単調に増加することを示せ．
(1)$S_1,\ S_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$a>0$のとき，$(a-1)e^a+1>0$であることを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$a$の関数とみたとき，区間$(0,\ \infty)$で単調に増加することを示せ．
国立 信州大学 2014年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t,\ 0)$，$\mathrm{Q}(\cos 2t,\ \sin 2t,\ \cos t)$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq t \leqq 2\pi$とする．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は平行でないことを示せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S(t)$は$t$の値に関係なく一定であることを示せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角$\theta(t)$のとる値の範囲を求めよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は平行でないことを示せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S(t)$は$t$の値に関係なく一定であることを示せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角$\theta(t)$のとる値の範囲を求めよ．
国立 岩手大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の不等式を解け．ただし，$a$は定数で，$a>0$，$a \neq 1$を満たすものとする．
\[ a^{2x}-a^x-6<0 \]
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)赤玉$4$個と白玉$5$個が入った袋がある．無作為に玉を$2$個同時に取り出したとき，赤玉の出る個数の期待値を求めよ．
(1)次の不等式を解け．ただし，$a$は定数で，$a>0$，$a \neq 1$を満たすものとする．
\[ a^{2x}-a^x-6<0 \]
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)赤玉$4$個と白玉$5$個が入った袋がある．無作為に玉を$2$個同時に取り出したとき，赤玉の出る個数の期待値を求めよ．
国立 岩手大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の不等式を解け．ただし，$a$は定数で，$a>0$，$a \neq 1$を満たすものとする．
\[ a^{2x}-a^x-6<0 \]
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)赤玉$4$個と白玉$5$個が入った袋がある．無作為に玉を$2$個同時に取り出したとき，赤玉の出る個数の期待値を求めよ．
(1)次の不等式を解け．ただし，$a$は定数で，$a>0$，$a \neq 1$を満たすものとする．
\[ a^{2x}-a^x-6<0 \]
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=5$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)赤玉$4$個と白玉$5$個が入った袋がある．無作為に玉を$2$個同時に取り出したとき，赤玉の出る個数の期待値を求めよ．
国立 信州大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0<\theta<\pi$のとき，不等式$\cos 3\theta+4 \cos^2 \theta<0$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$2$直線$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}$の和を求めよ．
{\bf 補足説明}
設問中の式の意味は
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}+\frac{1}{2+4+6+8}+\cdots \]
である．
(1)$0<\theta<\pi$のとき，不等式$\cos 3\theta+4 \cos^2 \theta<0$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$2$直線$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}$の和を求めよ．
{\bf 補足説明}
設問中の式の意味は
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}+\frac{1}{2+4+6+8}+\cdots \]
である．
国立 岩手大学 2014年 第3問鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{GA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{GB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき
$2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=-9$
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+2 \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=-3$
を満たしているものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を示せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の大きさ$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-2$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
$2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=-9$
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+2 \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=-3$
を満たしているものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を示せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の大きさ$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-2$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
国立 岩手大学 2014年 第3問鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{GA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{GB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき
$2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=-9$
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+2 \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=-3$
を満たしているものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を示せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の大きさ$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-2$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
$2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=-9$
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+2 \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=-3$
を満たしているものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を示せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の大きさ$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-2$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
国立 岩手大学 2014年 第2問$a$を正の実数とする．平面上の$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{a^2+9}$を満たしている．点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるように定め，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{BQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直になるとき，$a$の値と三角形$\mathrm{OQR}$の面積を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直になるとき，$a$の値と三角形$\mathrm{OQR}$の面積を求めよ．
国立 岩手大学 2014年 第3問座標平面上に$2$つの曲線$C_1:y=-x^2+12$，$C_2:y=x^2-10x+29$がある．曲線$C_1$上を動く点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とし，曲線$C_1$の点$\mathrm{P}$における接線を$\ell$とする．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸，$y$軸で囲まれた三角形の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表せ．また，$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C_2$が$2$個の共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(4)接線$\ell$と曲線$C_2$が$2$個の共有点をもつとき，それらの中点の軌跡を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸，$y$軸で囲まれた三角形の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表せ．また，$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C_2$が$2$個の共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(4)接線$\ell$と曲線$C_2$が$2$個の共有点をもつとき，それらの中点の軌跡を求めよ．
国立 旭川医科大学 2014年 第3問$a$を正の定数とする．$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=2a$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=\frac{2}{3}\pi$である$\triangle \mathrm{ABC}$と，
\[ |2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BP}}-\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=a \]
を満たす動点$\mathrm{P}$がある．このとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$の最大値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$が通過してできる図形の面積$S$を求めよ．
\[ |2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BP}}-\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=a \]
を満たす動点$\mathrm{P}$がある．このとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$の最大値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$が通過してできる図形の面積$S$を求めよ．