$t$を正の実数とする．三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$を$t:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$は線分$\mathrm{BM}$と直交し，かつ$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線であるとする．このとき，辺$\mathrm{OA}$と辺$\mathrm{OB}$の長さの比と$t$の値を求めよ．

不等式$1 \leqq x^2+y^2 \leqq 4$が表す$xy$平面内の領域を$D$とする．$\mathrm{P}$を円$x^2+y^2=1$上の点，$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$を円$x^2+y^2=4$上の異なる$2$点とし，三角形$\mathrm{PQR}$は領域$D$に含まれているとする．$a,\ b$を実数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換により$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$は$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}$は$\mathrm{R}^\prime$に移されるとする．このとき，三角形$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が領域$D$に含まれるための$a,\ b$の必要十分条件を求めよ．ただし，三角形は内部も含めて考えるものとする．

$f(x)=x^3-x$とする．$y=f(x)$のグラフに点$\mathrm{P}(a,\ b)$から引いた接線は$3$本あるとする．$3$つの接点$\mathrm{A}(\alpha,\ f(\alpha))$，$\mathrm{B}(\beta,\ f(\beta))$，$\mathrm{C}(\gamma,\ f(\gamma))$を頂点とする三角形の重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)$\alpha+\beta+\gamma$，$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$および$\alpha\beta\gamma$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{G}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{G}$の$x$座標が正で，$y$座標が負となるような点$\mathrm{P}$の範囲を図示せよ．

$xy$平面上の曲線$C:y=x \sin x+\cos x-1 (0<x<\pi)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし$\displaystyle 3<\pi<\frac{16}{5}$であることは証明なしで用いてよい．

(1)曲線$C$と$x$軸の交点はただ$1$つであることを示せ．
(2)曲線$C$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}(\alpha,\ 0)$とする．$\displaystyle \alpha>\frac{2}{3}\pi$であることを示せ．
(3)曲線$C$，$y$軸および直線$\displaystyle y=\frac{\pi}{2}-1$で囲まれる部分の面積を$S$とする．また，$xy$平面の原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}$および曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}-1 \right)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$T$とする．$S<T$であることを示せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，
\[ \angle \mathrm{BAC}=\theta,\quad \mathrm{AB}=\sin \theta,\quad \mathrm{AC}=|\cos \theta| \]
とする．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$または$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{BC}^2$の最大値と最小値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値を求めよ．

実数$a,\ b$は$a>b>0$および$a^2-b^2=2ab$を満たすとする．$xy$平面上で$(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$ $(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$によって媒介変数表示された楕円を$C$とする．点$\displaystyle \mathrm{P}(b \cos t,\ a \sin t) \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$と$C$上の動点$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$に対し，$f(\theta)=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$とおく．

(1)$f^\prime(\theta)=0$であるとき，$\sin 2\theta=\sin (\theta-t)$が成り立つことを示せ．
(2)$f^\prime(\theta)=0$となる$\theta$を$t$を用いて表せ．
(3)$f^\prime(\theta)=0$となる$\theta$がちょうど$3$つとなる$t$の値を求めよ．
(4)$t$を$(3)$で求めた値とする．このとき，$f^\prime(\theta)=0$となる各$\theta$に対応する$C$上の$3$点を頂点とする三角形の面積を$a,\ b$を用いて表せ．

一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{CP}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，直線$\mathrm{OC}$上の点$\mathrm{R}$を$\overrightarrow{\mathrm{QR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RC}}$の大きさの比$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}|:|\overrightarrow{\mathrm{RC}}|$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OQR}$の面積を求めよ．

空間内の$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$0<t<1$に対し，$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PM}+\mathrm{MQ}$が最小となる$\mathrm{OB}$上の点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{PN}+\mathrm{NQ}$が最小となる$\mathrm{OC}$上の点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を，それぞれ$t$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{QMN}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{QMN}$の面積の最大値を求めよ．

空間内の$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$を満たす点，点$\mathrm{E}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$を満たす点とし，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OA}$の中点とする．以下の問いに答えよ．

(1)$0<t<1$に対し，$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{CE}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．また，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{OC}$と$\mathrm{PS}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を，それぞれ$t$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OMN}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OMN}$の面積の最小値を求めよ．

空間内の$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$を満たす点，点$\mathrm{E}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$を満たす点とし，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OA}$の中点とする．以下の問いに答えよ．

(1)$0<t<1$に対し，$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{CE}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．また，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{OC}$と$\mathrm{PS}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を，それぞれ$t$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OMN}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OMN}$の面積の最小値を求めよ．