平面上に半径$1$と半径$2$の同心円$C_1$と$C_2$がある．自然数$n$に対して，$C_2$の周を$3n$等分する$3n$個の点がある．この$3n$個の点の中から異なる$3$点を選ぶとき，次の$(*)$をみたす選び方の総数を$a_k (k=0,\ 1,\ 2,\ 3)$とする．

$(*)$ 選んだ$3$点を頂点とする三角形の辺のうち，ちょうど$k$個が$C_1$の周と共有点をもつ．

次の問いに答えよ．

(1)$n=2$のとき，$a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$を$n$の式で表せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$4$点
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．

(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$におけるそれぞれの外角の二等分線の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線上にあるとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \left( \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}+\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right) \]
となる実数$t$が存在することを示せ．
(2)$|\overrightarrow{a}|=7$，$|\overrightarrow{b}|=5$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=5$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

$2$つの粒子が時刻$0$において$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$に位置している．これらの粒子は独立に運動し，それぞれ$1$秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする．たとえば，ある時刻で点$\mathrm{C}$にいる粒子は，その$1$秒後には点$\mathrm{A}$または点$\mathrm{B}$にそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で移動する．この$2$つの粒子が，時刻$0$の$n$秒後に同じ点にいる確率$p(n)$を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は，条件$\angle \mathrm{B}=2 \angle \mathrm{A}$，$\mathrm{BC}=1$を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする．このとき，$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$におけるそれぞれの外角の二等分線の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線上にあるとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \left( \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}+\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right) \]
となる実数$t$が存在することを示せ．
(2)$|\overrightarrow{a}|=7$，$|\overrightarrow{b}|=5$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=5$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

直角三角形でない三角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対応する角の大きさを$A$，$B$，$C$で表すことにする．このとき，次の$3$つの等式が成り立つことを証明せよ．

(1)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin B \sin C}=1-\frac{1}{\tan B \tan C}$

(2)$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B \tan C$

(3)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin B \sin C}+\frac{\cos B}{\sin C \sin A}+\frac{\cos C}{\sin A \sin B}=2$

鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$について，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A$，$B$，$C$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，外心を$\mathrm{O}$とし，外接円の半径を$R$とする．

(1)$\mathrm{A}$と$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を，それぞれ$\mathrm{AD}$，$\mathrm{OE}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=2R \sin B \sin C,\quad \mathrm{OE}=R \cos A \]
を証明せよ．
(2)$\mathrm{G}$と$\mathrm{O}$が一致するならば$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形であることを証明せよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形でないとし，さらに$\mathrm{OG}$が$\mathrm{BC}$と平行であるとする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=3 \mathrm{OE},\quad \tan B \tan C=3 \]
を証明せよ．

$m,\ n (m<n)$を自然数とし，
\[ a=n^2-m^2,\quad b=2mn,\quad c=n^2+m^2 \]
とおく．三辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形の内接円の半径を$r$とし，その三角形の面積を$S$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$a^2+b^2=c^2$を示せ．
(2)$r$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3)$r$が素数のときに，$S$を$r$を用いて表せ．
(4)$r$が素数のときに，$S$が$6$で割り切れることを示せ．

$m,\ n (m<n)$を自然数とし，
\[ a=n^2-m^2,\quad b=2mn,\quad c=n^2+m^2 \]
とおく．三辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形の内接円の半径を$r$とし，その三角形の面積を$S$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$a^2+b^2=c^2$を示せ．
(2)$r$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3)$r$が素数のときに，$S$を$r$を用いて表せ．
(4)$r$が素数のときに，$S$が$6$で割り切れることを示せ．