どの頂角も${180}^\circ$より小さい四角形$\mathrm{ABCD}$（図$1$）があり，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{W}$とする．この四角形を$2$つの三角形$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{ACD}$に分割し（図$2$），それぞれの三角形の重心を$\mathrm{G}_1$，$\mathrm{G}_1^\prime$とする．また，同じ四角形を$2$つの三角形$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{BCD}$に分割し（図$3$），それぞれの三角形の重心を$\mathrm{G}_2$，$\mathrm{G}_2^\prime$とする．さらに線分$\mathrm{G}_1 \mathrm{G}_1^\prime$と線分$\mathrm{G}_2 \mathrm{G}_2^\prime$の交点を$\mathrm{G}$とする．実数$l,\ m$は
\[ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=l \overrightarrow{\mathrm{AB}}+m \overrightarrow{\mathrm{AD}} \]
を満たすとする．以下の問に答えなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AG}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{AG}_1^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{AG}_2}$はそれぞれ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AG}_1}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}),\quad \overrightarrow{\mathrm{AG}_1^\prime}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}),\quad \overrightarrow{\mathrm{AG}_2}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}) \]
となるが，$\overrightarrow{\mathrm{AG}_2^\prime}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表しなさい．
(2)$0<p_1<1,\ 0<p_2<1$に対して，線分$\mathrm{G}_1 \mathrm{G}_1^\prime$を$p_1:1-p_1$に内分する点を$\mathrm{H}_1$とし，線分$\mathrm{G}_2 \mathrm{G}_2^\prime$を$p_2:1-p_2$に内分する点を$\mathrm{H}_2$とする．このとき，


$\overrightarrow{\mathrm{AH}_1}=(1-p_1) \overrightarrow{\mathrm{AG}_1}+p_1 \overrightarrow{\mathrm{AG}_1^\prime}$
$\overrightarrow{\mathrm{AH}_2}=(1-p_2) \overrightarrow{\mathrm{AG}_2}+p_2 \overrightarrow{\mathrm{AG}_2^\prime}$


となるが，特に$\mathrm{H}_1=\mathrm{H}_2=\mathrm{G}$としたとき，$p_1,\ p_2$を$l,\ m$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$と同じく$\mathrm{H}_1=\mathrm{H}_2=\mathrm{G}$としたとき，以下の式が成り立つことを示しなさい．
\[ \frac{\mathrm{G}_1^\prime \mathrm{G}}{\mathrm{G}_1 \mathrm{G}}=\frac{m}{l}=\frac{\mathrm{BW}}{\mathrm{DW}} \]
（図は省略）

$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{B}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$の$\triangle \mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上の点列$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots$，辺$\mathrm{AC}$上の点列$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{Q}_2,\ \cdots$，辺$\mathrm{BC}$上の点列$\mathrm{R}_1,\ \mathrm{R}_2,\ \cdots$を$\mathrm{R}_1 \to \mathrm{P}_1 \to \mathrm{Q}_1 \to \mathrm{R}_2 \to \mathrm{P}_2 \to \mathrm{Q}_2 \to \cdots$の順で以下を満たすように定める．

$(\mathrm{a})$ $\mathrm{R}_1=\mathrm{C}$
$(\mathrm{b})$ $\mathrm{R}_n \mathrm{P}_n \perp \mathrm{AB}$
$(\mathrm{c})$ $\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \para\, \mathrm{BC}$
$(\mathrm{d})$ $\mathrm{Q}_n \mathrm{R}_{n+1} \para\, \mathrm{AB}$

ただし，$n$は自然数である．下図は点$\mathrm{R}_1 \to \mathrm{P}_1 \to \cdots \to \mathrm{Q}_3$を示している．$x_n=\mathrm{AQ}_n$とおくとき，以下の問に答えなさい．

(1)$\mathrm{BR}_{n+1}$と$\mathrm{BP}_{n+1}$をそれぞれ$x_n$の式で表しなさい．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$の式で表しなさい．
(3)$x_n$を$n$の式で表しなさい．
（図は省略）

次の$(1)$～$(6)$の中から$4$つを選択し解答しなさい．

(1)$403a^4-2015a^2+1612$を因数分解しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2}x-y=-4$，$ax-y=14$，$3x+y=46$が点$\mathrm{P}$で交わるとき，点$\mathrm{P}$の座標と定数$a$の値を求めなさい．
(3)$\sqrt{n^2+35}$が自然数となるような自然数$n$をすべて求めなさい．
(4)$3$点$\mathrm{A}(-2,\ -2)$，$\mathrm{B}(1,\ 5)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$を頂点とする三角形の面積を求めなさい．
(5)$12$人の学生を$4$人ずつ$3$グループに分ける分け方は何通りあるか答えなさい．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{BC}$の延長が交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}$を求めなさい．

$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を考える．また，円$C$上で点$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{P}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$とおく．ただし，$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす．線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AP}$の垂直$2$等分線と円$C$の交点を各々$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．ただし，$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は，円$C$上に反時計回りに$\mathrm{ARPQ}$の順に並ぶようにとる．以下の問題に答えよ．

(1)中点$\mathrm{M}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{Q},\ \mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さを求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{ARPQ}$の面積を$S$とおく．面積$S$を$\theta$を用いて表せ．また，面積$S$が最大となるとき，$\theta$の値と面積$S$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{APQ}$と$\triangle \mathrm{ARP}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

原点を$\mathrm{O}$として$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 4)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 3,\ 2)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に引いた垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を中心とする半径$\mathrm{AQ}$の球面$\mathrm{S}$を考える．原点$\mathrm{O}$は球面$\mathrm{S}$の内側にあるか外側にあるかを答えよ．
(4)球面$\mathrm{S}$と線分$\mathrm{AB}$との交点のうち，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は$1$辺の長さが$3$の正三角形とする．辺$\mathrm{BC}$の延長線上に$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$である点$\mathrm{D}$をとり，直線$\mathrm{AD}$と$\angle \mathrm{B}$の二等分線との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき次の問いに答えなさい．

(1)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(2)線分$\mathrm{AE}$，$\mathrm{ED}$の長さを求めなさい．
(3)線分$\mathrm{BE}$の長さを求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$m$を整数とし，不定積分
\[ I=\int x^m \log x \, dx \]
を計算せよ．ただし，積分定数は省略してよい．
(2)$n$を$3$以上の自然数とする．正$n$角形の頂点から相異なる$3$点を選んで三角形を作るとき，その三角形が二等辺三角形となる場合の数を$a_n$とする．

(i) $a_6,\ a_7$をそれぞれ求めよ．
(ii) 自然数$k$に対して，$a_{6k},\ a_{6k+1}$をそれぞれ$k$を用いて表せ．

$a>0$，$b>0$とし，座標平面において，双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$を曲線$C$とする．曲線$C$の漸近線のうち傾きが正の漸近線を$\ell$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$における曲線$C$の接線を$m$とする．ただし，$p>0$，$q>0$とする．また，漸近線$\ell$と接線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)漸近線$\ell$の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)接線$m$の方程式を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OQR}$の面積$S(p)$を$p$を用いて表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{p \to \infty} S(p)$を求めよ．

座標平面上に，原点$\mathrm{O}$および$2$点$\mathrm{A}(2,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$がある．原点$\mathrm{O}$を通り，$\overrightarrow{u}=(2,\ -1)$を方向ベクトルとする直線を$\ell$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおき，$s,\ t$を実数として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{a}+s \overrightarrow{u}$で与えられる点$\mathrm{P}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{b}+t \overrightarrow{u}$で与えられる点$\mathrm{Q}$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{u}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{POQ}$が直角となる$s,\ t$の条件を求めよ．
(3)直線$\mathrm{PQ}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{R}$とし，実数$k$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=k \overrightarrow{u}$とする．このとき，$k$を$s,\ t$を用いて表せ．
(4)$\angle \mathrm{POQ}$が直角となる条件のもと，三角形$\mathrm{POQ}$の面積$F$が最小となるときの$k$の値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$4$点
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．

(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．