\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$があり，図のように，$5$本の対角線の交点を$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$とする．$\triangle \mathrm{ABF}$，$\triangle \mathrm{BCG}$，$\triangle \mathrm{CDH}$，$\triangle \mathrm{DEI}$，$\triangle \mathrm{EAJ}$を切り取り，残った図形を使って，五角形$\mathrm{FGHIJ}$を底面とする五角錐を作るとき，次の問いに答えよ．

(1)五角形$\mathrm{FGHIJ}$の面積は$\triangle \mathrm{AFJ}$の面積の何倍か．
(2)五角錐の体積を求めよ．

\end{mawarikomi}

\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
$2$つずつ平行な$3$組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．平行六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$があり，
\[ l \overrightarrow{\mathrm{PB}}+m \overrightarrow{\mathrm{PD}}+n \overrightarrow{\mathrm{PE}}=\overrightarrow{\mathrm{GP}} \]
を満たす点$\mathrm{P}$が存在している．ただし，$l+m+n+1 \neq 0$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AG}$上にあるとき，$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が$\triangle \mathrm{BDE}$を含む平面上にある．$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AD}}+z \overrightarrow{\mathrm{AE}}$とするとき，$x,\ y,\ z$が満たす条件を求めよ．
(4)四面体$\mathrm{ABDE}$の体積と四面体$\mathrm{PBDE}$の体積が$2:1$になるとき，$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ．また，点$\mathrm{P}$がこの条件を満たし，かつ，線分$\mathrm{AG}$上にあるとき，$l,\ m,\ n$の値を求めよ．

\end{mawarikomi}

三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，内心を$\mathrm{I}$とし，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする．また直線$\mathrm{AI}$が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．

(1)線分$\mathrm{BD}$の長さを$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
今後，$a+b+c=1$とし，三角形$\mathrm{BGC}$の面積を$S$，三角形$\mathrm{BIC}$の面積を$T$とおく．
(3)$\displaystyle \frac{T}{S}$を$a$を用いて表せ．
(4)$b<a<c$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$のとりうる値の範囲を求めよ．

平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}$を満たすとき，次の問いに答えなさい．ここで，$t$は実数とする．

(1)$t=0$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$に対して，点$\mathrm{P}$はどのような位置にあるか．また，面積比$\triangle \mathrm{PBC}:\triangle \mathrm{PCA}:\triangle \mathrm{PAB}$を求めなさい．
(2)$t$が実数全体を変化するとき，点$\mathrm{P}$はどのような図形を表すかを式で求めなさい．さらに，点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の内部にあるための$t$の範囲を求めなさい．

$xyz$空間の原点を$\mathrm{O}$とし，点$(0,\ 0,\ 1)$と点$(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$は，時刻$t=0$のとき$(-4,\ 0,\ 0)$にあって，$x$軸上を正の向きに速さ$1$で動いている．点$\mathrm{Q}$は，$t=0$のとき$(0,\ 0,\ 1)$にあって，直線$\ell$上を$x$座標が増えるように速さ$2$で動いている．

(1)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$t$の式で表せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$を$t$の式で表せ．
(3)$-0.33 \leqq t \leqq 2.6$のときの$S$の最大値と最小値，およびそれらをとる$t$の値を求めよ．

空間内の$3$点$\mathrm{A}(0,\ t,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ t)$，$\mathrm{C}(t,\ 1,\ 0) (0 \leqq t \leqq 1)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$の最小値を求めなさい．

$n$を自然数とする．数字$1$が書かれたカードが$n$枚，数字$4$が書かれたカードが$1$枚，$\triangle$が書かれたカードが$1$枚，合計$n+2$枚のカードがある．これら$n+2$枚のカードから$2$枚のカードを同時に引き，カードに書かれた数字の合計を得点とするが，引いたカードの中に$\triangle$が書かれたカードが含まれる場合には，得点は$0$点とする．

(1)得点が$0$点となる確率，得点が$2$点となる確率，得点が$5$点となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた期待値を$a_n$とおくとき，$a_{n+1}-a_n$の符号を調べることにより，$a_n$が最大になる$n$をすべて求めよ．

$n$を自然数とする．数字$1$が書かれたカードが$n$枚，数字$4$が書かれたカードが$1$枚，$\triangle$が書かれたカードが$1$枚，合計$n+2$枚のカードがある．これら$n+2$枚のカードから$2$枚のカードを同時に引き，カードに書かれた数字の合計を得点とするが，引いたカードの中に$\triangle$が書かれたカードが含まれる場合には，得点は$0$点とする．

(1)得点が$0$点となる確率，得点が$2$点となる確率，得点が$5$点となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた期待値を$a_n$とおくとき，$a_{n+1}-a_n$の符号を調べることにより，$a_n$が最大になる$n$をすべて求めよ．

$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$と$3$次関数$f(x)=x^3-6x^2+15x$と$1$次関数$g(x)=3ax$を考える．ただし，$a$は定数である．また，関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$y=f(x)$上の点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$とし，点$\mathrm{P}$における曲線$y=f(x)$の接線を$\ell$とする．ただし，$p \geqq 0$を満たす．以下の問題に答えよ．

(1)関数$f(x)$が単調に増加することを示せ．
(2)直線$\ell$の傾きが最小となるとき，$p$の値と直線$\ell$の式を求めよ．
(3)関数$y=g(x)$のグラフが曲線$C$と異なる$3$点で交わるとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(4)$a$の値は$(3)$で求めた範囲を満たすとする．$x \geqq 0$の範囲で関数$f(x)-g(x)$が最小となるとき，$x$を$a$を用いて表せ．
(5)点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$と一致する場合に，接線$\ell$が曲線$C$と原点以外で交わる点を$\mathrm{Q}$とおき，曲線$C$上において原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の間に点$\mathrm{R}$をとる．$\triangle \mathrm{ORQ}$の面積が最大となるとき，点$\mathrm{R}$の座標と$\triangle \mathrm{ORQ}$の面積を求めよ．

$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{B}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$の$\triangle \mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上の点列$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots$，辺$\mathrm{AC}$上の点列$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{Q}_2,\ \cdots$，辺$\mathrm{BC}$上の点列$\mathrm{R}_1,\ \mathrm{R}_2,\ \cdots$を$\mathrm{R}_1 \to \mathrm{P}_1 \to \mathrm{Q}_1 \to \mathrm{R}_2 \to \mathrm{P}_2 \to \mathrm{Q}_2 \to \cdots$の順で以下を満たすように定める．

$(\mathrm{a})$ $\mathrm{R}_1=\mathrm{C}$
$(\mathrm{b})$ $\mathrm{R}_n \mathrm{P}_n \perp \mathrm{AB}$
$(\mathrm{c})$ $\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \para\, \mathrm{BC}$
$(\mathrm{d})$ $\mathrm{Q}_n \mathrm{R}_{n+1} \para\, \mathrm{AB}$

ただし，$n$は自然数である．下図は点$\mathrm{R}_1 \to \mathrm{P}_1 \to \cdots \to \mathrm{Q}_3$を示している．$x_n=\mathrm{AQ}_n$とおくとき，以下の問に答えなさい．

(1)$\mathrm{BR}_{n+1}$と$\mathrm{BP}_{n+1}$をそれぞれ$x_n$の式で表しなさい．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$の式で表しなさい．
(3)$x_n$を$n$の式で表しなさい．
（図は省略）