「三角形」について
タグ「三角形」の検索結果
（46ページ目：全1576問中451問～460問を表示）
公立 首都大学東京 2015年 第2問座標空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ -1,\ 2)$がある．三角形$\mathrm{OAB}$の周上または内部の点$\mathrm{P}$は$\mathrm{AP}=\sqrt{2}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たしているとする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{OBP}$の面積を求めなさい．
(3)点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{A}$を中心とする半径$\sqrt{2}$の球面上を動くとき，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OQ}$に引いた垂線の長さの最小値を求めなさい．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{OBP}$の面積を求めなさい．
(3)点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{A}$を中心とする半径$\sqrt{2}$の球面上を動くとき，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OQ}$に引いた垂線の長さの最小値を求めなさい．
公立 首都大学東京 2015年 第1問点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接している正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{O}$の$7$点から異なる$3$点を同時に選ぶとき，以下の問いに答えなさい．
(1)選んだ$3$点が一直線上に並ぶ確率を求めなさい．
(2)選んだ$3$点を結ぶと正三角形ができる確率を求めなさい．
(3)選んだ$3$点を結ぶと面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$より大きい三角形ができる確率を求めなさい．
(1)選んだ$3$点が一直線上に並ぶ確率を求めなさい．
(2)選んだ$3$点を結ぶと正三角形ができる確率を求めなさい．
(3)選んだ$3$点を結ぶと面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$より大きい三角形ができる確率を求めなさい．
公立 公立はこだて未来大学 2015年 第4問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$が以下の漸化式をみたすとする．
\[ a_1=10,\quad b_1=24,\quad a_{n+1}=2a_n-8,\quad b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+6 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
以下の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)$3$辺の長さが，それぞれ$a_2,\ b_2,\ 6$である三角形は存在しないことを示せ．
(3)$3$辺の長さが，それぞれ$a_n,\ b_n,\ 6$である三角形が存在するような$n$の値をすべて求めよ．
\[ a_1=10,\quad b_1=24,\quad a_{n+1}=2a_n-8,\quad b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+6 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
以下の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)$3$辺の長さが，それぞれ$a_2,\ b_2,\ 6$である三角形は存在しないことを示せ．
(3)$3$辺の長さが，それぞれ$a_n,\ b_n,\ 6$である三角形が存在するような$n$の値をすべて求めよ．
公立 富山県立大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{PQ}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{OR}$の延長が辺$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{S}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{OQ}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{T}$とするとき，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$は一直線上にあることを示せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{OQ}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{T}$とするとき，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$は一直線上にあることを示せ．
公立 大阪市立大学 2015年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{O}^\prime$，$\triangle \mathrm{OBC}$の重心を$\mathrm{A}^\prime$，$\triangle \mathrm{OCA}$の重心を$\mathrm{B}^\prime$，$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{C}^\prime$とする．次の問いに答えよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime}$は平行であることを示せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime}|$の比を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は相似であることを示せ．
(4)$\mathrm{A}$が$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$と$\mathrm{Q}(0,\ 2,\ 0)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{B}$が$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}(0,\ 0,\ 3)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{C}$が$\mathrm{R}$と$\mathrm{P}$を結ぶ線分の中点であるとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$と四面体$\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$の体積$V^\prime$を求めよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime}$は平行であることを示せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime}|$の比を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は相似であることを示せ．
(4)$\mathrm{A}$が$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$と$\mathrm{Q}(0,\ 2,\ 0)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{B}$が$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}(0,\ 0,\ 3)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{C}$が$\mathrm{R}$と$\mathrm{P}$を結ぶ線分の中点であるとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$と四面体$\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$の体積$V^\prime$を求めよ．
公立 滋賀県立大学 2015年 第1問曲線$C:y=x^n$（$n$は$2$以上の偶数）上に点$\mathrm{A}(-a,\ a^n) (a>0)$と点$\mathrm{B}(b,\ b^n) (b>0)$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$とする．また，線分$\mathrm{AB}$と$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．
(1)$S_1$を求めよ．
(2)$S_2$を求めよ．
(3)$\displaystyle S_2 \geqq \frac{2n}{n+1}S_1$が成り立つことを示せ．
(1)$S_1$を求めよ．
(2)$S_2$を求めよ．
(3)$\displaystyle S_2 \geqq \frac{2n}{n+1}S_1$が成り立つことを示せ．
公立 奈良県立医科大学 2015年 第1問次の中から鈍角三角形をすべて選べ．
ア．三辺の長さが$10,\ 13,\ 16$である三角形
イ．三辺の長さが$8,\ 9,\ 4$である三角形
ウ．三辺の長さが$2,\ 3,\ 4$である三角形
エ．三辺の長さが$7,\ 8,\ 5$である三角形
オ．三辺の長さが$3,\ 4,\ 5$である三角形
ア．三辺の長さが$10,\ 13,\ 16$である三角形
イ．三辺の長さが$8,\ 9,\ 4$である三角形
ウ．三辺の長さが$2,\ 3,\ 4$である三角形
エ．三辺の長さが$7,\ 8,\ 5$である三角形
オ．三辺の長さが$3,\ 4,\ 5$である三角形
公立 奈良県立医科大学 2015年 第13問平行六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において，$\triangle \mathrm{BDE}$の重心を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{MF}$をどのように内分するか求めよ．ここで，平行六面体とは$6$つの平行四辺形からなる立体であり，$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$は向かい合う面の対応を表している．
公立 愛知県立大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点を移動する点$\mathrm{P}$があり，初め頂点$\mathrm{A}$にいる．その後，$1$秒毎に，以下の規則に従ってその位置を変化させる．
(i) 頂点$\mathrm{A}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{B}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{C}$に移る．
(ii) 頂点$\mathrm{B}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{A}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{B}$にとどまるか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{C}$に移る．
(iii) 頂点$\mathrm{C}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{A}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{B}$へ移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{C}$にとどまる．
初め頂点$\mathrm{A}$にいた点$\mathrm{P}$が$n$秒後に頂点$\mathrm{A}$，頂点$\mathrm{B}$にいる確率をそれぞれ$p_n$，$q_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$p_1,\ q_1,\ p_2,\ q_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1},\ q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$の式で表せ．
(3)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n,\ \lim_{n \to \infty}q_n$をそれぞれ求めよ．
(i) 頂点$\mathrm{A}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{B}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{C}$に移る．
(ii) 頂点$\mathrm{B}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{A}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{B}$にとどまるか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{C}$に移る．
(iii) 頂点$\mathrm{C}$にいるときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{A}$に移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{B}$へ移るか，確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で頂点$\mathrm{C}$にとどまる．
初め頂点$\mathrm{A}$にいた点$\mathrm{P}$が$n$秒後に頂点$\mathrm{A}$，頂点$\mathrm{B}$にいる確率をそれぞれ$p_n$，$q_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$p_1,\ q_1,\ p_2,\ q_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1},\ q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$の式で表せ．
(3)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n,\ \lim_{n \to \infty}q_n$をそれぞれ求めよ．
公立 釧路公立大学 2015年 第4問以下の各問に答えよ．
(1)製品が$50$個あり，そのうち$5$個が不良品である．この$50$個の中から$2$個を同時に取り出す検査で，不良品が見つかる確率を求めよ．
(2)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とする．また，$\triangle \mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{DG}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{EF}=9$のとき，線分$\mathrm{AG}$の長さを求めよ．
(3)下の図において，直線$\ell$は$2$つの円$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$の共通接線で，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は接点である．円$\mathrm{O}$の半径を$5$，円$\mathrm{O}^\prime$の半径を$3$とし，$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$間の距離を$10$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
（図は省略）
(1)製品が$50$個あり，そのうち$5$個が不良品である．この$50$個の中から$2$個を同時に取り出す検査で，不良品が見つかる確率を求めよ．
(2)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とする．また，$\triangle \mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{DG}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{EF}=9$のとき，線分$\mathrm{AG}$の長さを求めよ．
(3)下の図において，直線$\ell$は$2$つの円$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$の共通接線で，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は接点である．円$\mathrm{O}$の半径を$5$，円$\mathrm{O}^\prime$の半径を$3$とし，$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$間の距離を$10$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
（図は省略）