$\triangle \mathrm{OAB}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$t$は$\displaystyle 0<t<\frac{1}{3}$の範囲にある実数とする．辺$\mathrm{OA}$を$3t:1-3t$に内分する点を$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{AG}$と線分$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OAH}$の面積が$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の$k$倍となるとき，$k$を$t$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．線分$\mathrm{AG}$と線分$\mathrm{BF}$が直角に交わるとき$t$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$は$\displaystyle \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=2\theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を満たすものとする．

三角形$\mathrm{ABC}$の内接円を$\mathrm{O}_1$とし，その半径を$a$とする．また，円$\mathrm{O}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$より半径が短く，辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{AC}$，円$\mathrm{O}_n$に接する円を$\mathrm{O}_{n+1}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，円周率は$\pi$を用いるものとする．

\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}


(1)三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さ$L$を$a$と$\theta$を用いて表しなさい．ただし，$L=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$である．
(2)円$\mathrm{O}_n$の周の長さを$W_n$で表すとき，
\[ W=\sum_{n=1}^\infty W_n \]
を$a$と$\theta$を用いて表しなさい．
(3)$L=W$が成り立つとき，$\sin \theta$，$\cos \theta$の値をそれぞれ求めなさい．

\end{mawarikomi}

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+2a^2$は，$x=-1$で最大値をとり，$f(1)=14$を満たす．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$で，$f(x)$の最大値は$[ウ]$である．
(2)$1$つのさいころを$1$の目が出るまで投げ続ける．ただし，投げる回数は最大$100$回とする．このとき，ちょうど$n$回（$n<100$）投げてやめる確率は$[エ]$で，投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[オ]$である．また，$1$の目が$2$回出るまで投げ続けるとき（最大$100$回），投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[カ]$である．
(3)平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3}$が成立しているとする．このとき，$\mathrm{AB}=[キ]$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表し，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{5}{2} \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$を満たす点$\mathrm{C}$をとれば，$\mathrm{AC}=[ク]$，$\cos \angle \mathrm{BAC}=[ケ]$が成立する．
(4)不等式$\sin 2\theta+\sin 4\theta>\sin 3\theta$を満たす$\theta$の範囲は$[コ]<\theta<[サ]$および$[シ]<\theta<[ス]$である．ただし，$0<\theta<\pi$とする．
(5)ある正の数$a$を底としたときの，$2$と$5$の対数の近似値がそれぞれ$\log_a 2=0.693$，$\log_a 5=1.609$であるとする．また，$\sqrt[4]{10}=1.778$とする．指数関数$y=pa^{-qx}$（$p,\ q$は正の数）において，$x=1$のとき$y=10$，$x=5$のとき$y=1$となるならば，$p=[セ]$，$q=[ソ]$である．また，$y$がちょうど$p$の半分となるときの$x$の値は$[タ]$である．なお，解答は小数点以下$2$桁で示すこと（必要ならば小数第$3$位を四捨五入せよ）．

次の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(6,\ 6)$，$\mathrm{B}(-3,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ -2)$，$\mathrm{D}(-6,\ -6)$がある．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心の座標は$([ア],\ [イ])$であり，外接円の半径は$[ウ]$である．この円を$C$とする．
(2)円$C$上を動く点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{D}$に対して，線分$\mathrm{DP}$を$1:2$に内分する点の軌跡は円になる．この円の中心の座標は$([エ],\ [オ])$であり，半径は$[カ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$での円$C$の接線を$\ell_1$とする．接線$\ell_1$の方程式は$y=[キ]x+[ク]$であり，$\ell_1$と$x$軸との交点$\mathrm{E}$の座標は$([ケ],\ 0)$である．
(4)点$\mathrm{E}$を通り，円$C$に接する直線は$2$本ある．$\ell_1$と異なる接線を$\ell_2$とし，$\ell_2$は点$\mathrm{F}$で円$C$に接するとする．点$\mathrm{F}$の座標は$([コ],\ [サ])$であり，$\ell_2$の方程式は$y=[シ]x+[ス]$である．

次の各問に答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$(3+2i)x-(2+5i)y=6-7i$（ただし，$i^2=-1$）をみたすとき，$x=[ア]$，$y=[イ]$である．
(2)不等式$\displaystyle \frac{x-4}{3}<\frac{x-3}{2}<\frac{x-2}{6}$の解は$\displaystyle [ウ]<x<\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$A={120}^\circ$，$B={45}^\circ$，$\mathrm{BC}=6 \sqrt{2}$のとき，$\mathrm{CA}=[カ] \sqrt{[キ]}$である．
(4)$3$個のサイコロを同時に投げるとき，出た目の和が$4$である確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$，出た目の和が$16$である確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$である．
(5)整式$2x^3+ax^2-bx-14$が$x^2-4$で割り切れるとき，定数$a,\ b$の値は$\displaystyle a=\frac{[セ]}{[ソ]}$，$b=[タ]$である．
(6)方程式$16^x-9 \cdot 4^x+8=0$の解は$\displaystyle x=[チ],\ \frac{[ツ]}{[テ]}$である．
(7)不等式$\displaystyle \log_2 (x-3)<\frac{1}{2} \log_2 (2x-3)$の解は$[ト]<x<[ナ]$である．
(8)関数$f(x)=x^3-ax^2+(a+3)x+4$が$x=3$で極値をとるとき，定数$a$の値は$[ニ]$であり，$f(x)$の極大値は$[ヌ]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle f(x)=|\displaystyle\frac{7|{2}x-3}-x$とする．方程式$f(x)=0$の解は，小さい順に，$\displaystyle x=\frac{[ア]}{[イ]}$，$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．

折れ線$L:y=|f(x)|$と直線$y=k$（ただし，$k$は定数）がちょうど$3$点を共有するのは$\displaystyle k=\frac{[オ]}{[カ]}$のときであり，$L$と直線$y=mx-1$（ただし，$m$は定数）がちょうど$3$点を共有するのは$\displaystyle m=\frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケコ]}{[サ]}$のときである．

(2)三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$に対して，等式$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+5 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$（ただし，$k$は実数）が成り立つ．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{k+[シ]}{[スセ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分するとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[チ]}{[ツ]} \overrightarrow{\mathrm{AQ}},\quad k=\frac{[テト]}{[ナ]} \]
である．

原点を中心とする半径$5$の円周上に，$2$点$\mathrm{A}(0,\ -5)$，$\mathrm{B}(4,\ -3)$がある．

(1)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$1$]$である．
(2)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$2$]$である．
(3)円に内接し，線分$\mathrm{AB}$にも接する円のうち，直径が最大の円の方程式は$[$3$]$である．

次の$(1)$，$(2)$から$1$問選択しなさい．

(1)$3$点$\mathrm{A}(3,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 4,\ -1)$，$\mathrm{C}(0,\ 3,\ 2)$を頂点とする三角形の面積を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AC}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{7}$とする．

(i) $\angle \mathrm{A}$を求めなさい．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径を求めなさい．

下記に示す三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=4$であり，内側に円が接している．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする．このとき，以下の各問いに答えなさい．
（図は省略）

(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)内接円の半径$r$の長さを求めよ．

以下の各問に答えなさい．

(1)次の関数のグラフを$x$軸方向に$\displaystyle -\frac{1}{3}$，$y$軸方向に$\displaystyle -\frac{1}{3}$だけ平行移動したグラフの方程式を求めよ．
\[ y=-3x^2+2x-1 \]
(2)関数$f(x)=x^2-12x+c$が$2 \leqq x \leqq 9$において最大値が$12$になるように，定数$c$の値を求めよ．
(3)縦横$13$本の線を持つ碁盤（$13$路盤）がある．各線によって構成される枠の大きさはすべて等しく，$1$辺が$1 \, \mathrm{cm}$である．ここで，$4$つの角を左上から反時計回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とした場合，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上にそれぞれ$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$の場所に碁石を配置した．ただし，$\mathrm{AE}=x$，$\mathrm{BF}=2x$，$\mathrm{CG}=x+6 (0<x<6)$であるようにする．このとき，三角形$\mathrm{EFG}$の面積が最小になる場合の$x$の値と，その面積を求めよ．
（図は省略）