「三角形」について
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私立 京都女子大学 2015年 第2問放物線$y=x^2-2ax+b$（$a,\ b$は定数）と直線$y=2x+3$が$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもち，点$\mathrm{P}$がこの放物線の頂点であるとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$a$で表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$a$で表せ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とする．$b$が最小値をとるときの$\triangle \mathrm{QPO}$の面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$a$で表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$a$で表せ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とする．$b$が最小値をとるときの$\triangle \mathrm{QPO}$の面積を求めよ．
私立 京都女子大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の長さを$\sqrt{3}$，辺$\mathrm{BC}$の長さを$2$，辺$\mathrm{CA}$の長さを$1$とし，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{C}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{AE}$のそれぞれの長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{AEC}$の面積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AEC}$の面積と$\triangle \mathrm{EDC}$の面積の比を求めよ．
(1)線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{AE}$のそれぞれの長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{AEC}$の面積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AEC}$の面積と$\triangle \mathrm{EDC}$の面積の比を求めよ．
私立 西南学院大学 2015年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$，内接円の半径を$r$とする．$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{6}$，$\angle \mathrm{ABC}={45}^\circ$のとき，以下の値を求めよ．
(1)$\mathrm{AC}=[ア]$
(2)$\angle \mathrm{BAC}={[イウ]}^\circ$
(3)$\displaystyle S=\frac{3+\sqrt{[エ]}}{[オ]}$
(4)$\displaystyle r=\frac{1}{2} \left( [カ]+\sqrt{[キ]}-\sqrt{[ク]} \right)$
(1)$\mathrm{AC}=[ア]$
(2)$\angle \mathrm{BAC}={[イウ]}^\circ$
(3)$\displaystyle S=\frac{3+\sqrt{[エ]}}{[オ]}$
(4)$\displaystyle r=\frac{1}{2} \left( [カ]+\sqrt{[キ]}-\sqrt{[ク]} \right)$
私立 天使大学 2015年 第2問$\mathrm{BC}=1$，$\angle \mathrm{B}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$をみたす$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CA}$，辺$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{R}$をとる．ただし，点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{R}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点とは異なる点で，$\triangle \mathrm{PQR}$は正三角形である．次の問いに答えなさい．
(1)$\angle \mathrm{CPQ}=\theta$とおく．このとき$\angle \mathrm{BPR}=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}^\circ-\theta$をみたし，$\angle \mathrm{BRP}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \theta$である．
(2)$\mathrm{BP}=x$とおく．このとき$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}}{\mkakko{$\mathrm{f}$}} x$である．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S$とおく．このとき$\displaystyle S=\frac{\sqrt{\mkakko{$\mathrm{g}$}}}{\mkakko{$\mathrm{h}$}} \left( \frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$}} x^2+\mkakko{$\mathrm{k}$}x+1 \right)$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$は正の数である．
(4)$\displaystyle S=\frac{7}{64} \sqrt{3}$のとき，$x$の値を求めなさい．
$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$}}$または$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{n}$}}{\mkakko{$\mathrm{o}$} \mkakko{$\mathrm{p}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{m}$}$と$\mkakko{$\mathrm{o}$}$は正の数である．
(1)$\angle \mathrm{CPQ}=\theta$とおく．このとき$\angle \mathrm{BPR}=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}^\circ-\theta$をみたし，$\angle \mathrm{BRP}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \theta$である．
(2)$\mathrm{BP}=x$とおく．このとき$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}}{\mkakko{$\mathrm{f}$}} x$である．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S$とおく．このとき$\displaystyle S=\frac{\sqrt{\mkakko{$\mathrm{g}$}}}{\mkakko{$\mathrm{h}$}} \left( \frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$}} x^2+\mkakko{$\mathrm{k}$}x+1 \right)$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$は正の数である．
(4)$\displaystyle S=\frac{7}{64} \sqrt{3}$のとき，$x$の値を求めなさい．
$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$}}$または$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{n}$}}{\mkakko{$\mathrm{o}$} \mkakko{$\mathrm{p}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{m}$}$と$\mkakko{$\mathrm{o}$}$は正の数である．
私立 天使大学 2015年 第5問$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CR}$の交点を$\mathrm{O}$とし，直線$\mathrm{AO}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えなさい．
(1)長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ \mathrm{BP}:\mathrm{PC}=\mkakko{$\mathrm{a}$}:\mkakko{$\mathrm{b}$} \]
(2)長さの比$\mathrm{PO}:\mathrm{OA}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ \mathrm{PO}:\mathrm{OA}=\mkakko{$\mathrm{c}$}:\mkakko{$\mathrm{d}$} \]
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を，それぞれ$S_1$と$S_2$とおく．面積の比$S_1:S_2$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ S_1:S_2=\mkakko{$\mathrm{e}$} \mkakko{$\mathrm{f}$}:\mkakko{$\mathrm{g}$} \]
(4)$\triangle \mathrm{OBP}$の面積を，$S_3$とおく．面積の比$S_1:S_3$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ S_1:S_3=\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$}:\mkakko{$\mathrm{j}$} \]
(1)長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ \mathrm{BP}:\mathrm{PC}=\mkakko{$\mathrm{a}$}:\mkakko{$\mathrm{b}$} \]
(2)長さの比$\mathrm{PO}:\mathrm{OA}$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ \mathrm{PO}:\mathrm{OA}=\mkakko{$\mathrm{c}$}:\mkakko{$\mathrm{d}$} \]
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を，それぞれ$S_1$と$S_2$とおく．面積の比$S_1:S_2$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ S_1:S_2=\mkakko{$\mathrm{e}$} \mkakko{$\mathrm{f}$}:\mkakko{$\mathrm{g}$} \]
(4)$\triangle \mathrm{OBP}$の面積を，$S_3$とおく．面積の比$S_1:S_3$を最も簡単な正の整数の比で表しなさい．
\[ S_1:S_3=\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$}:\mkakko{$\mathrm{j}$} \]
私立 西南学院大学 2015年 第4問$\mathrm{O}$を原点とし，$2$点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$，$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$に関して，$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=3$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=4$であるとき，以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$の外心を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[ム]}{[メ]} \overrightarrow{a}+\frac{[モ]}{[ヤ]} \overrightarrow{b}$である．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$の外心を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[ム]}{[メ]} \overrightarrow{a}+\frac{[モ]}{[ヤ]} \overrightarrow{b}$である．
私立 西南学院大学 2015年 第6問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$が成り立つことを証明せよ．
私立 近畿大学 2015年 第1問$a$は$0$でない定数とする．$2$つの円$C_1:x^2+y^2+4x-6y+9=0$，$C_2:x^2+y^2-4ax+2y+1=0$は異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっている．
(1)$a$の値に関係なく，$C_2$が通る定点の座標は$[ア]$である．
(2)$a$の値の範囲は$[イ]$である．
(3)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線の傾きが$-3$となるとき，$a=[ウ]$である．
(4)$C_1$の中心を$\mathrm{A}$とおく．$\triangle \mathrm{APQ}$が正三角形となるとき，$a=[エ]$である．
(1)$a$の値に関係なく，$C_2$が通る定点の座標は$[ア]$である．
(2)$a$の値の範囲は$[イ]$である．
(3)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線の傾きが$-3$となるとき，$a=[ウ]$である．
(4)$C_1$の中心を$\mathrm{A}$とおく．$\triangle \mathrm{APQ}$が正三角形となるとき，$a=[エ]$である．
私立 西南学院大学 2015年 第6問原点を$\mathrm{O}$とし，三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$，$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$を通る直線を$\ell$とするとき，以下の問に答えよ．
(1)$\ell$上の任意の点を$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$とすると，直線$\ell$のベクトル方程式は実数$t$に対して，
\[ \overrightarrow{p}=(1-t) \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \cdots\cdots① \]
となることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$のなす角を$2$等分する直線$m$上の任意の点を$\mathrm{Q}(\overrightarrow{q})$とすると，直線$m$のベクトル方程式は，実数$k$に対して，
\[ \overrightarrow{q}=k \left( \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} +\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right) \]
となることを証明せよ．
また，$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$が直線$\ell$と直線$m$の交点であるとき，式$①$の$t$を$|\overrightarrow{a}|$と$|\overrightarrow{b}|$で表せ．
(1)$\ell$上の任意の点を$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$とすると，直線$\ell$のベクトル方程式は実数$t$に対して，
\[ \overrightarrow{p}=(1-t) \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \cdots\cdots① \]
となることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$のなす角を$2$等分する直線$m$上の任意の点を$\mathrm{Q}(\overrightarrow{q})$とすると，直線$m$のベクトル方程式は，実数$k$に対して，
\[ \overrightarrow{q}=k \left( \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} +\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right) \]
となることを証明せよ．
また，$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$が直線$\ell$と直線$m$の交点であるとき，式$①$の$t$を$|\overrightarrow{a}|$と$|\overrightarrow{b}|$で表せ．
私立 広島文化学園大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$を展開せよ．
(2)$x^2-4ax-5a^2$を因数分解せよ．
(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}+2},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$のとき，式$x^2+y^2$の値を求めよ．
(4)$|3x+1| \geqq 2$を解け．
(5)集合$A$を$1$から$12$までの自然数の集合，集合$B$を素数全体の集合とするとき，$A \cap B$の要素を書き並べて表せ．
(6)次の$[ ]$にあてはまるものとして，「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち，最も適切なものを選べ．
$x^2=16$は$x=4$であるための$[ ]$．
(7)$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$であるとき，$\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$の値を求めよ．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}={135}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$のとき，$\mathrm{BC}$を求めよ．
(1)$(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$を展開せよ．
(2)$x^2-4ax-5a^2$を因数分解せよ．
(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}+2},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$のとき，式$x^2+y^2$の値を求めよ．
(4)$|3x+1| \geqq 2$を解け．
(5)集合$A$を$1$から$12$までの自然数の集合，集合$B$を素数全体の集合とするとき，$A \cap B$の要素を書き並べて表せ．
(6)次の$[ ]$にあてはまるものとして，「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち，最も適切なものを選べ．
$x^2=16$は$x=4$であるための$[ ]$．
(7)$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$であるとき，$\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$の値を求めよ．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}={135}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$のとき，$\mathrm{BC}$を求めよ．