座標平面において，原点$(0,\ 0)$を中心とする円に内接する正三角形で，点$(3,\ 4)$を頂点の$1$つとするものを考える．この三角形の他の$2$つの頂点の座標を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$つの角$A,\ B,\ C$に対して，$\sin A:\sin B:\sin C=3:5:7$であるとき，$\tan A=[テ]$であり，角$C$の大きさをラジアンで求めると$C=[ト]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$5:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$7:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{CR}=[ネ]:[ノ]$であり，$\triangle \mathrm{BPR}$の面積は$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の$[ハ]$倍である．

次の問について，答えを$[　]$内に記入せよ．

(1)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{2}$の円周上を動くとき，$\sqrt{3}x+y$の最小値は$[ア]$であり，$x^2+2xy+3y^2$の最大値は$[イ]$である．
(2)放物線$y=x^2$上に$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(-4,\ 16)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$がある．$a>0$かつ$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるとき，$a=[ウ]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[エ]$である．

$2$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 2)$と$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 4)$から等距離にある$x$軸上の点を$\mathrm{P}$，$y$軸上の点を$\mathrm{Q}$，$z$軸上の点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{PQR}$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -1)$，$\mathrm{C}(-2,\ 4,\ 3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$について，次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$から三角形$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろす．この垂線と三角形$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OC}$上にとる．四面体$\mathrm{OABQ}$の体積が$\displaystyle \frac{9}{4}$となるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$とする．辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$となるようにとり，線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\mathrm{AC}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{BF}:\mathrm{FC}$を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の内部に$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$があり，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BF}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{BE}}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{3}{5} \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を満たしている．このとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{BC}}$である．

鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下した垂線の足を$\mathrm{D}$，$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下した垂線の足を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{AD}$と$\mathrm{CE}$の交点を$\mathrm{F}$とし，$\mathrm{BF}$の延長と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．このとき以下の問に答えよ．

(1)四角形$\mathrm{BDFE}$は円に内接することを証明せよ．
(2)四角形$\mathrm{AEDC}$は円に内接することを証明せよ．
(3)三角形$\mathrm{ABG}$と三角形$\mathrm{ACE}$は相似であることを証明せよ．
(4)四角形$\mathrm{AEFG}$は円に内接することを証明せよ．

円$x^2+y^2-6x+ay+4=0$上の点$\mathrm{A}(5,\ 1)$における接線を$\ell$とする．原点$\mathrm{O}$からこの円に引いた$2$本の接線のうち，傾きが正であるものの方程式を$y=mx$，接点を$\mathrm{B}$とする．また，この円の中心を$\mathrm{C}$とする．

(1)$a=[ア]$である．
(2)$\mathrm{C}$の座標は$([イ],\ [ウ])$である．
(3)接線$\ell$の傾きは$[エオ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{OBC}$の面積は$\sqrt{[カ]}$である．
(5)$\displaystyle m=\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]}$である．