「三角形」について
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国立 山口大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とは異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{AB}=l$，$\mathrm{AP}=m$，$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$，$\angle \mathrm{PAC}=\beta$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$l,\ m,\ \alpha$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{AC}$の長さおよび$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$l,\ m,\ \alpha,\ \beta$を用いて表しなさい．
(3)次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\[ S \geqq \frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \]
(1)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$l,\ m,\ \alpha$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{AC}$の長さおよび$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$l,\ m,\ \alpha,\ \beta$を用いて表しなさい．
(3)次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\[ S \geqq \frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \]
国立 山口大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とは異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{AB}=l$，$\mathrm{AP}=m$，$\angle \mathrm{PAB}=\alpha$，$\angle \mathrm{PAC}=\beta$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{AC}$を$l,\ m,\ \alpha,\ \beta$を用いて表しなさい．
(2)次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\[ S \geqq \frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \]
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\displaystyle S=\frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)}$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{PG}}$の値を求めなさい．
(1)$\mathrm{AC}$を$l,\ m,\ \alpha,\ \beta$を用いて表しなさい．
(2)次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\[ S \geqq \frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \]
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\displaystyle S=\frac{2m^2 \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)}$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{PG}}$の値を求めなさい．
国立 山口大学 2015年 第3問$a,\ b$を定数とする．空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 5,\ 9)$，$\mathrm{B}(3,\ 4,\ 8)$，$\mathrm{C}(2,\ 6,\ 7)$，$\mathrm{D}(a,\ b,\ 12)$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{AG} \perp \mathrm{DG}$，$\mathrm{BG} \perp \mathrm{DG}$であるとき，次の問いに答えなさい．
(1)点$\mathrm{G}$の座標と$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を頂点とする四面体の体積を求めなさい．
(1)点$\mathrm{G}$の座標と$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を頂点とする四面体の体積を求めなさい．
国立 京都教育大学 2015年 第2問次のような，一辺の長さが$1$の正八面体を考える．ただし，$\mathrm{M}$は辺$\mathrm{BC}$の中点である．
（図は省略）
(1)$\cos \angle \mathrm{AMD}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{AMD}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\cos \angle \mathrm{AMD}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{AMD}$の面積を求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とし，半径を$1$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$(1)$における$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と平行で向きが同じとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|:|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=s:1$とするとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を，それぞれ$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(3)$(2)$において，さらに$\displaystyle s=\frac{1}{6}$であるとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$(1)$における$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と平行で向きが同じとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|:|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=s:1$とするとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を，それぞれ$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(3)$(2)$において，さらに$\displaystyle s=\frac{1}{6}$であるとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とし，半径を$1$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$(1)$における$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と平行で向きが同じとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|:|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=s:1$とするとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を，それぞれ$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(3)$(2)$において，さらに$\displaystyle s=\frac{1}{6}$であるとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$(1)$における$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と平行で向きが同じとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|:|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=s:1$とするとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を，それぞれ$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(3)$(2)$において，さらに$\displaystyle s=\frac{1}{6}$であるとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
私立 早稲田大学 2015年 第4問座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(\sqrt{3},\ -2)$，$\mathrm{B}(3 \sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{C}(4 \sqrt{3},\ -5)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{D}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．また，直線$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．また，直線$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第1問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．
(1)$2$次方程式$x^2+kx+k+8=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha$，$\beta$をもつとする．このとき，定数$k$の値の範囲は$k<[ア]$または$k>[イ]$である．さらに，このとき$\alpha^2+\beta^2=19$となるような定数$k$の値は$k=[ウ]$である．
(2)$xyz$空間の$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$を$3$頂点とする三角形を底面にもち，$z \geqq 0$の部分にある正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{D}$の座標は$[エ]$である．また$4$頂点において正四面体$\mathrm{ABCD}$に外接する球の中心$\mathrm{E}$の座標は$[オ]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$のなす角を$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\cos \theta=[カ]$である．
(3)$n$を自然数とする．白玉$5$個と赤玉$n$個が入っている袋から同時に玉を$2$個取り出すとき，取り出した玉の色が異なる確率を$p_n$とする．このとき$p_n=[キ]$である．また$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{5}$となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$である．
(1)$2$次方程式$x^2+kx+k+8=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha$，$\beta$をもつとする．このとき，定数$k$の値の範囲は$k<[ア]$または$k>[イ]$である．さらに，このとき$\alpha^2+\beta^2=19$となるような定数$k$の値は$k=[ウ]$である．
(2)$xyz$空間の$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$を$3$頂点とする三角形を底面にもち，$z \geqq 0$の部分にある正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{D}$の座標は$[エ]$である．また$4$頂点において正四面体$\mathrm{ABCD}$に外接する球の中心$\mathrm{E}$の座標は$[オ]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$のなす角を$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\cos \theta=[カ]$である．
(3)$n$を自然数とする．白玉$5$個と赤玉$n$個が入っている袋から同時に玉を$2$個取り出すとき，取り出した玉の色が異なる確率を$p_n$とする．このとき$p_n=[キ]$である．また$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{5}$となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$である．
私立 早稲田大学 2015年 第2問空間内に，一辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$とし，また，辺$\mathrm{OC}$を$k:(1-k)$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．ただし，$0<k<1$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|$を$k$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$k$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{EAB}$の面積$S$を$k$を用いて表せ．さらに，面積$S$を最小にする$k$の値とそのときの面積を求めよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$とし，また，辺$\mathrm{OC}$を$k:(1-k)$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．ただし，$0<k<1$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|$を$k$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$k$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{EAB}$の面積$S$を$k$を用いて表せ．さらに，面積$S$を最小にする$k$の値とそのときの面積を求めよ．
私立 自治医科大学 2015年 第16問$\triangle \mathrm{ABC}$について考える．点$\mathrm{P}$は，$6 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たすものとする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PBC}$の面積を$S_2$としたとき，$\displaystyle \frac{11S_2}{S_1}$の値を求めよ．